244 CONTACTS DU SECOND ORDRE DANS LES COURBES GAUCHES; 
ces abscisses les valeurs cc, x H- x -+- A'x pareilles sur les deux 
plans des xy et des xz, afin que les deux lignes variables de ces plans 
considérées ainsi soient bien les deux projections d’une môme ligne 
de l’espace aiant ses trois points d’abscisses x, x -+- \x, * + A'i com 
muns avec la courbe proposée, et qui tende en même temps vers la 
ligne fixe voulue. 
M ais revenons, en particulier, au cercle passant par les trois points 
voisins dont il s’agit, 
0.7, *), O -1 " Aaf, 7-f- A/, *-+■ A*), (x -+- A'x, y -+- My, z -+- M z). 
A la limite, ce cercle, alors situé sur le plan osculateur, se trou 
vera parfaitement défini; car son plan étant déterminé, ainsi que la 
direction et la courbure de ses deux projections obliques sur les deux 
plans des xy et des xz aux endroits où se projette obliquement le 
point de contact, cela revient à se donner, outre sa tangente en ce 
point, la grandeur avec le sens de son rayon dont dépendent les cour 
bures de ses deux projections. Et il sera le cercle osculateur commun 
de toutes les courbes dont il a été question. En effet, un cercle diffé 
rent passant par M ne pourrait avoir un contact du même ordre avec 
l'une quelconque de ces courbes sans en avoir un aussi du second 
ordre avec lui, l’écart mutuel de ces deux cercles, mesuré dans un 
plan parallèle aux yz, étant évidemment inférieur à la somme de leurs 
écarts respectifs, dans le même plan, d’avec la courbe supposée en 
contact du second ordre avec chacun d’eux. Or deux circonférences 
qui, aux environs d’un point commun M, ne s’écartent l’une de l’autre 
que-de quantités d’un ordre de petitesse supérieur au second, ne sau 
raient être dans deux plans différents; car chacune d’elles présenterait, 
comme toute courbe, des écarts au moins du second ordre avec un plan 
qui ne serait pas son plan osculateur et, par suite, avec toute courbe 
tracée dans un tel plan. Ainsi, les deux circonférences auraient, dans 
un même plan, un contact du second ordre; ce qu’on sait, parla 
théorie du cercle osculateur aux courbes planes, être impossible à 
moins qu’elles ne se confondent. C’est dire que le cercle limite obtenu, 
en contact du second ordre tant avec la courbe proposée qu’avec sa 
projection sur le plan oscillateur et avec les autres lignes indiquées, 
est, de tous les cercles possibles, celui qui, près du point M, s’éloigne 
le moins de chacune en particulier de ces courbes. Autrement dit, il 
constitue bien leur cercle osculateur. 
Il reste à voir, pour déterminer le centre et le rayon du cercle oscu 
lateur, quelle est, au point de vue analytique, la liaison mutuelle de 
ce cercle et des autres lignes, en contact réciproque du second ordre.