APPLICATION AU CERCLE OSCCLATEUR. 
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A cet effet, considérons-les, non pas, tout de suite, dans leurs posi 
tions limites, mais alors qu’elles passent par les trois points voisins 
*), {x + \x, 7 +■ Ay, 5 +Au), (ar +A'ar, 7 + A'7, æ + A'æ); 
et supposons-les décrites toutes à la fois, d’un mouvement continu, 
par des mobiles qui arriveraient ensemble en chacun des trois points 
donnés, aux époques respectives £, t-\-\t, l + \'t. Ce mouvement 
pourra être, par exemple, tel, que les mobiles se trouvent constamment 
dans un plan parallèle 311x75 ou aient leur abscisse x commune; en 
sorte que leurs distances soient ces écarts mutuels des courbes, que 
nous venons de considérer. Formons, dans chaque courbe, les ex 
pressions (i3) [p. 287] de \x, A7, A 5, x, A 'y, A 'z, et puis, après 
les avoir divisées respectivement par At et A't, cellçs des différences 
A' x tsx A'7 
~¥t Â~t ’ HÜ 
A y A 'z A z . , ,, . A 't — M 
f ' 111 seront (* + ■■■) —i— ’ 
etc. 
A.37 
Les rapports ? 
A' x 
A 7 ! 
A.r 
A1 
étant communs a toutes 
A t ' A 't — A t 
les courbes, leurs limites x', x", ... y seront les mêmes; et, par con 
séquent, dans les courbes en contact du second ordre, les trois fonc 
tions x, y,zdet auront, au point commun (x, 7, z), non seulement 
mêmes valeurs, mais aussi mêmes dérivées premières et secondes. 
D’ailleurs, en attribuant à x', yz', x", y", z", dans les trois pre 
mières formules (i3), ces valeurs communes à toutes les courbes don 
nées, et en y faisant varier A t à partir de zéro, pour que kx, A7, A z 
soient les variations simultanées des coordonnées le long d’un petit arc 
quelconque d'une des courbes, on voit que, dans toutes, ces variations 
à un même moment ne différeront que par les termes non écrits, dont 
Tordre de petitesse est supérieur au second; de sorte que les écarts 
mutuels des mobiles décrivant à la fois les courbes et, par suite, les 
écarts mêmes de ces dernières, n’atteindront pas le second ordre. 
Autrement dit, le contact entre les courbes est bien de cet ordre dès 
que x, y, z, avec leurs dérivées premières et secondes, ont valeurs 
communes au point donné. 
Ces conditions analytiques, ainsi prouvées suffisantes pour qu’un 
contact soit du second ordre, reviennent à dire que Ton pourra attri 
buer aux courbes deux points communs infiniment voisins et, en ces 
points, mômes tangentes ou mômes plans normaux. Car la connais 
sance de la tangente en un premier point (x, y, z) équivaut à s’y 
donner les dérivées x', y', z', et celle de la tangente en un point voi 
sin, dont les coordonnées prendront à la limite, en tenant compte de 
leurs petits excédents sur x, y, z, les formes x -H x 1 dt, y + y 1 dt, 
z -t- z'dt, équivaut à s’y donner de môme les dérivées premières des