COURBES GAUCHES : CENTRE ET RAYON
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coordonnées, dérivées pareillement réductibles à x' x" dt, y' -\-y"dt,
z' + z"dt, ou impliquant la connaissance de x", y", z" au point
(x, y, z), vu le rôle des petits changements de direction exprimés
par x"dt, y"dt, z"dt, non moins essentiel que celui des petits chan
gements simultanés de situation x'dt, y'dt, z'dt. Et le plan oscula-
teur en {x, y, z), que détermine la tangente en ce point avec une
parallèle à la tangente voisine, se trouvera également le même pour
toutes les lignes considérées. Or, dans le cercle, le centre est à l’in
tersection des deux plans normaux et du plan osculateur qui lui sont
communs avec les autres lignes, notamment avec la courbe gauche
proposée. Donc, comme ce plan osculateur et le premier plan normal
se coupent suivant la normale principale correspondante, on pourra
énoncer le principe suivant :
Le centre du cercle osculateur cVune courbe gauche, pour un
point donné, se trouve à l’intersection de la normale principale en
ce point par un plan normal infiniment voisin, c’est-à-dire à la
position limite du point oii cette normale principale perce un plan
normal qui se rapproche d’elle indéfiniment.
164. — Coordonnées du centre et rayon de ce cercle.
Ce principe conduit aisément à l’expression des coordonnées, que
j’appellerai x u y l , z 1} du centre du cercle osculateur pour le point
(x,y, z) de la courbe gauche proposée. Siqiposons les axes rectangu
laires, et prenons l’arc s de la courbe pour variable indépendante, afin
que les équations de la normale principale se réduisent à (18) [p. 241].
Le plan normal qui la contient aura l’équation (to) [p. 235] et, le
plan normal voisin, la même équation, où seulement x, y, z et x', y 1 , z'
se trouveront accrus de leurs différentielles x' dt, y'dt, z'dt et x"dt,
y"dt, z"dt. Or, comme il s’agit de considérer un point commun aux
deux plans normaux, ou que x l} y u z l seront les mêmes dans les deux,
l’équation du second peut être remplacée par sa différence d’avec celle
du premier, différence divisible par dt ; ce qui donnera, comme pre
mier membre de la nouvelle équation, la dérivée du premier membre
de (10) le long de l’arc ds obtenue en traitant x x , y u z l comme des
constantes. Cette dérivée se forme sans difficulté; car, par exemple,
pour le premier terme x 1 {x t — x), dont les facteurs x 1 et x { — x ont
respectivement pour dérivées x" et —x 1 , elle est x"(x\ — x) — x n .
En observant que la somme de — x' 2 , —y' 2 et —z' 2 vaudra ici — 1
d’après la première (9) [p. 235] et en faisant passer ce terme — 1 dans
le second membre, nul jusque-là, l’équation substituée ainsi à celle du