DE LEUR CERCLE OSCILLATEUR. 
second plan normal, et qui devra être jointe aux. deux (18) de la nor 
male principale, sera 
(20) a?"Oi — x) + f{yi— y) + z\z l — z) = 1. 
Or, si nous ajoutons terme à terme les trois rapports (18) après les 
avoir multipliés respectivement haut et bas par x", y", z", nous for 
merons le nouveau rapport égal 
x\x x — X) —7) -+~ z '\ z \ — z ) 
x" 2 ~hy" 2 -h z" 2 
Nous pourrons évidemment, en même temps que nous égalerons celui- 
ci aux autres, substituer à son numérateur la valeur x tirée c\e (20), 
et exprimer par le fait même, dans l’égalité multiple ainsi obtenue, 
que ce numérateur vaut bien effectivement l’unité, ou que l’équation 
(20) est vérifiée. Nous sommes donc libre de remplacer l’ensemble de 
l’équation (20) et des deux proportions (18) par la triple proportion 
(21) 
x x — x _ y , —y 
x" ~ y" 
H 
& 2 ~hy 2 ~h 
z "2> 
et la comparaison de chacun des trois premiers rapports au quatrième 
donne enfin les coordonnées cherchées x l} y x , z x du centre du cercle 
ou plutôt, ce qui revient au môme, leurs excédents sur celles, x, y, z, 
du point de contact, 
(22) 
(Xi — x,y x —y, Zi — z) = 
jx\y\ z") 
x" 2 -h y"' 2 -1- z" 2 
Ces trois différences x x — x, y x — y, z x — £ sont les trois projections, 
sur les axes, de la droite joignant le point de contact {x, y, z) au 
centre (x x , r t , z x ), c’est-à-dire du rayon même du cercle osculateur, 
rayon que j’appellerai R comme dans l’étude des courbes planes, mais 
que je prendrai en valeur absolue. Il égalera évidemment la racine 
carrée de la somme des carrés des seconds membres de (22). Son ex 
pression sera donc, après une réduction évidente, 
\ ^ / IA — /— .. .. ) 
\f x 2 y 2 -+- z 2 
et, dès lors, l’introduction de R 2 en facteur, à la place du dénomina 
teur commun x" % -t- y" 1 H- z" 2 , permettra de donner aux relations (22) 
la forme, aussi simple que possible, 
(24) Xi— x = R 2 o/, yi— y = R 2 y", Zi — z=R 2 z". 
Telles sont les formules qui, exprimant, pour le cercle osculateur