DIX-HUITIÈME LEÇON. 
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DES SURFACES COURBES; PLAN TANGENT ET + POINTS SINGULIERS; 
NORMALE; * LIGNES DE PENTE. 
173. — Plan tangent à une surface. 
D’après ce qu’on a vu au n° 41 (p. q4) et plus complètement au 
n° 42* (dans le Fascicule II, p. 49*)> toute surface dont l’équation en 
coordonnées rectilignes est de la forme F (a?, y, z) — une const. c, 
avec un premier membre fonction continue de x, y, z et à dérivées 
premières continues, admet généralement, en chacun (x, y, z) de ses 
points, un plan tangent, dont elle s’écarte, à une petite distance tout 
autour du point de contact {x, y, z), de quantités comparables au 
carré de cette distance, et qui est le lieu des tangentes menées, au 
même point, à toutes les courbes s’y croisant sur la surface. Il n’y a 
d’exception que pour les points, dits singuliers, propres à certaines 
de ces surfaces, et où s’annulent à la fois les trois dérivées partielles 
de F en x, y, z. 
Si l’équation de la surface a été résolue par rapport à z, ou mise 
sous la forme z — f{x, y), et que p, q désignent les deux dérivées 
partielles en x et en y de l’ordonnée z — f{x, y), nous avons trouvé 
(p. g5) comme équation du plan tangent, avec x ly y 1: ¿q pour coor 
données courantes, 
(l) *i — *=p(x i — x)-t-q(y i —y). 
Mais, quand l’équation de la surface est, plus généralement, 
F(.r, y, z) — c, on a obtenu pour celle du plan tangent (dans le Fas 
cicule II, p. 49*) et l’on trouve, d’ailleurs, de suite, en portant 
dans (i) les valeurs de p et q qu’a données, au n° G6 (p. 120), la 
différentiation de F(x, y, z) = c, 
(2) 
dF 
dx 
(Xi — x) 
d F . 
-y) 
dF 
(*1 —z) = o. 
Par exemple, une surface du second degré rapportée à son centre et