FORMES DIVERSES DE LEUR ÉQUATION. 
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cv, y et z, en t et x. Enfin, la substitution, dans l’équation précédente 
(i), des valeurs ainsi trouvées pour les dérivéesp et q de z par rap 
port à x et à y, donnerait l’équation du plan tangent. 
Mais celle-ci, qu’on peut toujours écrire provisoirement, avec trois 
coefficients indéterminés A, B, C, 
(5) 
AOt — æ) -+- B(ji— y) -+- GOî — z) = o, 
s’obtient d’une manière moins abstraite, en observant que le plan 
tangent en {oc,y, z) contient la tangente aux deux courbes a — const. 
eti = const. qu’on y mènerait, ou bien, pour chacune, un élément 
ds, ayant ses projections obliques dx, dy, dz exprimées respective- 
„ , , , d(x, y, z) , d(x, y, z) , „ 
ment, sous forme abregee, par dt et par - — ^ - dx. ün 
peut donc, dans (5), substituer à x x -~- x, y x — y, — z ces deux sys 
tèmes de valeurs de dx, dy, dz\ ce qui, après suppression du facteur 
commun dt ou dx, donne les deux relations 
(6) 
dx 
dt 
dy 
dt 
dz 
dt 
dx dy dz 
—,—hB-f+C T =o. 
dx dx dx 
Et il en résulte pour A, B, C les trois valeurs proportionnelles, à 
substituer dans (5), 
I dy dz dz dy 
| dt dx dt dx ’ 
! _ dz dx dx dz 
( 7 ) < B = -y ; y ~r ? 
' | dt dx dt dx 
I dx dy dy dx 
\ dt dx dt dx 
Grâce à ces valeurs, le plan exprimé par l’équation (5) contiendra 
bien la tangente en (x, y, z) à toute courbe y passant sur la surface, 
ou, ce qui revient au même, l’élément ds obtenu en y faisant croître 
i et a de quantités infiniment petites quelconques dt et dx. Car les 
projections obliques, dx, dy, dz, de ds sur les axes seront exprimées 
p ar fi c p- dix, ,Y,_y)_ dx; et, mises dans (5) à la place de 
v dt dx 
x y — x, y y — y, z x — z, elles vérifieront identiquement cette équation, 
vu les valeurs (7) de A, B, C ou les relations (6). 
174*. — Coup d’œil sur les points singuliers des surfaces courbes: 
points isolés et points coniques. 
(Compléments, p. 219*).