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SURFACES COURBES : NORMALE ET PENTE;
d’étudier la normale à une famille de surfaces et d’évaluer ses cosinus
directeurs. C’est pourquoi je me bornerai actuellement au cas d’une
simple surface, représentée, en coordonnées rectangulaires, par une
relation de la forme z~f\x,y). L’équation (i) [p. a5i] du plan
langent y revenant à
—p{x 1 — x) — q{y i —y)-h{z i — z) = o,
où p et q désignent les deux dérivées partielles de z —. f{x, y) en x
et en y, toute perpendiculaire à ce plan aura, d’après un raisonne
ment répété déjà plusieurs fois, ses cosinus directeurs proportionnels
aux coefficients — p, — g, i de x x — x, y l —y, z { — z. Par suite, si
l’on appelle maintenant x u y 1} z t les coordonnées courantes non plus
du plan, mais de la normale, qui est, parmi ces perpendiculaires, celle
qui part du point (¿u, y, z) de contact, ses deux équations seront,
encore d’après un autre raisonnement plusieurs fois reproduit,
— 1 -^ = ——— = ^ , ou bien, par la comparaison de chacun des
deux premiers rapport au troisième,
(28) x ï -x-^p{z l — z) = o, y l -y + q{z i -z) = o.
Nous conviendrons de la mener, à partir du point (x, y, z), du
côté qui fait avec les z positifs un angle aigu, en sorte que le troisième
cosinus directeur soit positif; et nous désignerons alors par a, p, y ses
trois angles avec les parties positives des axes, ou par cosa, cosp, cosy
i • -t i •. i • i - cosa
les trois cosinus directeurs dont il s agit. Aux rapports égaux —— >
dont le troisième est pris ainsi positif, nous en adjoindrons
cosp cosy
~q’ i
un quatrième, en ajoutant terme à terme leurs carrés, puis extrayant
du résultat la racine carrée positive; et leur égalité à ce quatrième
rapport nous donnera, pour les trois cosinus directeurs cherchés de la
normale, les valeurs
(24) cos a — — 7 ■> cos 6 = 1 , cosy —- —•
V + 1 \ ? 2 + 1 ^ 2_t ~ 1
L’angle y fait par la normale avec l’axe des s aura une importance
particulière, si du moins on a pris le plan des xy horizontal; car il
vaudra évidemment l’angle du plan tangent avec le plan horizontal,
et sa tangente trigonométrique mesurera la pente de la surface en
{x, y, z). La formule connue tangy = ^/ ^ ■ — 1 donnera pour cette
