RAPPORT LIMITE DE L’ARC A SA CORDE. 
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petite corde AB, les divers côtés, A'N, NP, PQ, QB', qui la com 
posent, ne faisant avec AB que des angles très faibles (comme ceux 
de AB avec les tangentes en A ou en B), se projettent presque en 
vraie grandeur ou ont avec leurs projections des rapports très peu 
différents de l’unité; d’où il suit, à cause d’un théorème précédent 
(note de la p. 12), que la ligne A'B' tout entière, somme des nu 
mérateurs des rapports considérés, est à sa projection totale sur AB, 
somme des dénominateurs, dans un rapport intermédiaire, non 
moins voisin de 1 par conséquent, ou que A'B' dépasse sa projec 
tion totale sur AB d’une portion relativement fort petite de sa lon 
gueur. Et comme, de plus, cette projection totale commence à un 
point très voisin de A pour se terminer à un autre très voisin de B, 
ou ne diffère elle-même de AB que par une minime fraction de sa 
valeur, la partie considérée A'B' de la ligne polygonale ne peut pré 
senter également avec AB qu’une différence incomparablement plus 
faible que AB, c’est-à-dire, égale à une fraction de AB aussi petite que 
l’on voudra, pourvu que AB ait déjà été pris suffisamment petit. 
Donc, à mesure que décroîtront les côtés de la ligne polygonale et que 
celle-ci s’approchera de l’arc proposé de courbe, sa partie appelée ici 
A'B' ne pourra désormais varier que dans une proportion extrême 
ment faible; et, comme il en sera de même de toutes ses autres parties, 
correspondant à d’autres petites cordes BC, ..., la ligne polygonale 
tout entière, dont les extrémités seront ou deviendront à la limite 
celles de l’arc proposé, ne variera pareillement, dans sa longueur to 
tale, que d’une fraction très petite aussi de celle longueur, laquelle 
se trouve évidemment finie comme la distance de deux de ses points 
pris aussi éloignés que possible l’un de l’autre. En effet, la somme des 
numérateurs, A'B', B'C', ..., de rapports presque égaux à 1 ayant 
pour dénominateurs AB, BC, . .., formera avec la somme de ceux-ci, 
toujours d’après le même théorème, un nouveau rapport non moins 
voisin de l’unité. 
Ainsi, toutes ces lignes polygonales à côtés très petits n’ont pas des 
longueurs sensiblement différentes, et le caractère énoncé à l’avant- 
dernier numéro ( p. 4), comme nécessaire et suffisant pour qu’elles ad 
mettent une limite, se trouve bien vérifié. Donc la longueur de l’arc, 
identique à cette limite, est une quantité parfaitement déterminée, 
comme on se proposait de l’établir. 
Observons encore que, si les sommets de la ligne polvgonale 
es points fixes 
lolygonale va- 
riable MNPQ..., perpendiculaires mesurant en A et B les écarts de celte ligne 
d’avec la courbe et très petites, par hypothèse, en comparaison de AB.