PAR LE MOUVEMENT DE POINTS OU DE LIGNES.
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’espace que l’on
coupe pas. Il est
clans ces concli-
iclion de cc, y, z,
, la matièce en
oit et à chaque
toute fonction
’ailleurs, comme
»n pour des fonc-
mple, un simple
aiti té tantôt plus
onction p =/(t)
' place, mais du
a d’une figure à
3 manière simple
conques,
y, z, t),
les coordonnées du mobile, on aurait trois relations de la forme
^=/i(0> y=Mt), z=f 3 {t),
pour exprimer toutes les circonstances du mouvement, savoir, d’une
part, la trajectoire, ou lieu des positions successives du mobile, d’autre
part, la manière particulière dont cette courbe est parcourue. Ainsi,
la description d’une courbe par un point mobile constitue une excel
lente représentation d’un système de trois fonctions quelconques d’une
même variable indépendante. Ces fonctions se réduiraient d’ailleurs à
deux, # = /j(£), j=/ 2 (i), si la courbe était contenue dans le plan
des xy, et à une seule, x — si le mobile se déplaçait simplement
en suivant l’axe des x.
Supposons enfin que les points de la figure considérée forment une
file et puissent, par conséquent, se distinguer les uns des autres au
moyen d’une seule variable, a, qui sera par exemple leur distance à
l’un d’eux, mesurée, le long de la file même, dans un certain état parti
culier (réel ou fictif) de celle-ci. Alors leurs coordonnées#, y, z à un
instant quelconque seront fonction à la fois de t et de a; et l'on aura
trois relations de la forme
sans faire inter
cède du temps,
ints mobiles qui,
it, soit réel, soit
ions {x, y, z) de
• désormais cha-
pécial, supposons
;e toutefois d’être
e u, ç, w soit les
ne époque quel-
►sitifs ou négatifs
itives, x, y, z, il
re trois fonctions
e ces coordonnées
idéré. Donc trois
lent toujours un
are déformable à
nt à un seul, on
ne resterait plus
L lieu de u, v, w :
*=/1 (*>*)> 7=/ 2 (i, a), z=/ 3 (t,ct),
pour exprimer soit, en y faisant varier t, la trajectoire de l’un quel
conque des points de la file, soit, en y faisant varier a, le lieu de ces
points à un moment donné t, c’est-à-dire la nouvelle forme prise par
la file à ce moment. L’ensemble de toutes ces trajectoires et de toutes
les files de points successivement dessinées par la file primitive con
stituera évidemment une sorte de réseau ou de tissu, infiniment mince
mais ayant longueur et largeur, c’est-à-dire une surface. Et il est clair
d’ailleurs qu’on peut, à l'inverse, sur toute surface, tracer deux sys
tèmes de courbes, dont les unes soient les trajectoires d’une file
de points qui coïnciderait successivement avec chacune des autres.
Par conséquent, trois fonctions quelconques de deux variables in
dépendantes sont représentées simultanément au moyen d’une
surface sillonnée d’une certaine manière par une file donnée de
points.
Tels sont les principaux exemples de fonction, à la fois très géné
raux et très simples, que fournit la Géométrie en s’aidant au besoin
des notions élémentaires de densité et de temps, et qui sont propres à
devenir comme des types concrets ou palpables de toutes les fonctions
d’un nombre pareil de variables.