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FONCTIONS ALGÉBRIQUES, 
8. — Classification des fonctions, au point de vue de leur calcul, 
en fonctions algébriques et transcendantes de diverses espèces. 
Mais il ne suffit pas de savoir représenter graphiquement les fonc 
tions; il importe aussi d’apprendre à calculer leurs valeurs, exactes ou 
approchées, au moyen d'opérations arithmétiques convenables effec 
tuées sur les constantes de la question, qu’on doit supposer connues, 
et sur les variables indépendantes. A ce point de vue, si, d’une part, 
afin de simplifier, l’on ne fait varier à la fois qu’une variable, que, 
d'autre part, les calculs dont les données seraient uniquement les 
antres variables ou des constantes soient censés faits, de manière à ne 
regarder comme véritables constantes de la question que leurs résul 
tats, la fonction proposée rentrera nécessairement dans l’une des trois 
catégories suivantes : 
i° Ou bien celte fonction, que j’appellerai y, s’évaluera par un 
nombre limité d’opérations algébriques (additions, soustractions, 
multiplications, divisions et extractions de racines), comme il arrive 
quand elle est définie au moyen d’une équation algébrique, résoluble 
par une formule générale à la manière de celles du premier et du se 
cond degré, et ayant pour coefficients des polynômes affectés des 
puissances entières x, x 2 , x 3 , ... de la variable #; 
2° Ou bien le calcul de la fonction y exigera une infinité de telles 
opérations, quoique celle fonction soit encore racine d’une équation 
algébrique ayant pour coefficients des polynômes en x, mais non ré 
soluble par radicaux; 
3° Ou bien enfin, non seulement le calcul de y ne pourra pas se 
faire au moyen d’un nombre fini d’opérations; mais, de plus, la fonc 
tion y ne sera même pas racine d’une équation algébrique ayant pour 
coefficients des polynômes en x. 
Dans le premier cas, la fonction est dite algébrique explicite ou 
simplement algébrique, parce qu’elle se trouve exactement repré 
sentée au moyen d’une expression algébrique, c’est-à-dire d’un en 
semble de lettres et de nombres désignant des quantités, reliés par 
les signes d’opérations +, —, \J~, etc. Une pareille fonction est qua 
lifiée, en outre, de rationnelle, quand elle exprime la racine d’une 
équation du premier degré et qu’il n’y paraît, par conséquent, aucun 
radical ou exposant fractionnaire portant sur une expression où soit 
engagée la variable#. Elle est dite, au contraire, irrationnelle, quand 
il y figure des radicaux affectant la variable x. Lorsqu’elle est ration 
nelle, elle se ramène, en définitive, au quotient d’un polynôme par un 
polynôme; car des additions, des soustractions, des multiplications et