EXPLICITES ET IMPLICITES. 
2i) 
des divisions en nombre quelconque, effectuées sur des fractions algé 
briques, donnent pour résultat une nouvelle fraction. Ainsi, toute fonc 
tion algébrique rationnelle équivaut à une fraction rationnelle, delà 
forme 
aæ m -h hx-h c—i— ... 
a'x' l -\- b'x' l ~ l -T- c' . .. 
Enfin, si le dénominateur de cette fraction se réduit à une constante, 
par laquelle on pourra diviser tous les coefficients a, b, c, ... du nu 
mérateur, la fonction devient un simple polynôme 
Ax m -i- B x" 1 - 1 -H- G a?"*- 2 4-..., 
où ne figurent que des indications d’additions, de soustractions et de 
multiplications : elle est dite alors entière. On l’appelle même fonc 
tion linéaire, quand elle est seulement du premier degré, comme 
y ~ K.x —B, et représentée ainsi géométriquement par une ligne 
droite. Ce cas particulier éminemment simple, auquel on cherche à 
rapporter tous les autres, est évidemment caractérisé par ce fait qu’à 
des accroissements égaux de la variable il en correspond toujours 
d’égaux de la fonction et que, par conséquent, les accroissements de 
la fonction y sont proportionnels à ceux de la variable. 
Dans le second cas général, où la fonction y se trouve racine d’une 
équation algébrique non résolue ou même non résoluble par radicaux, 
la fonction est dite algébrique implicite. On la qualifie ainsi dé algé 
brique, bien qu’aucune expression algébrique finie ne puisse repré 
senter l’ensemble de ses valeurs, soit parce qu’elle jouit de propriétés 
très analogues à celles des fonctions algébriques explicites (le fait 
qu’une équation algébrique est ou non résoluble algébriquement 
n’influant pas sur les plus importantes de ces propriétés), soit aussi 
parce que la résolution des équations algébriques constitue en Algèbre 
comme une sixième et dernière opération, savoir l’opération algé 
brique par excellence, comprenant les cinq premières (empruntées à 
l’Arithmétique), et même toutes leurs combinaisons possibles, comme 
cas particuliers, mais ne pouvant en général s’y réduire. Il est, d’ail 
leurs, permis d’attribuer aux coefficients de l’équation qui définit la 
fonction y une forme entière et rationnelle en x, c’est-à-dire la forme 
de simples polynômes; car si ces coefficients contenaient ou des dé 
nominateurs, ou des radicaux, ou même des fonctions algébriques 
implicites de x, on pourrait non seulement chasser les dénomina 
teurs, mais aussi faire disparaître les radicaux et les fonctions impli 
cites au moyen d’éliminations que l’Algèbre apprend à effectuer. 
Enfin, dans le troisième cas, la fonction, qui ne se trouve ni calcu-