DEUXIÈME LEÇON. 
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VARIATION GRADUELLE DES FONCTIONS.—ÉTUDE DE CETTE VARIATION 
DANS LES FONCTIONS LES PLUS USUELLES : FONCTIONS ALGÉBRIQUES, 
SÉRIES, ARCS DE COURBE, ETC. 
9. — Variation graduelle des fonctions; de la dérivée, pente ou fluxion 
qui l’exprime. 
Une propriété générale et naturelle des choses dont la grandeur 
varie est leur continuité ou, plus explicitement, leur continuité re 
lative (c’est-à-dire proportionnée à cette grandeur même) : elle con 
siste en ce que, si l’une quelconque des variables dont dépendent ces 
choses vient à changer, mais d’une fraction suffisamment petite de 
I intervalle fini où on doit la considérer, elles ne changeront elles- 
mêmes que d’une fraction aussi faible que l’on voudra de leurs valeurs 
ordinaires ou moyennes. C’est tout au plus pour certaines valeurs 
isolées des variables, valeurs clairement indiquées d’avance par la 
nature même des choses en question, qu’il peut en être autrement et 
qu’il y a, comme on dit, discontinuité ou brusque variation de celles- 
ci. Or de là découlent deux caractères importants des fonctions algé 
briques, et même de toutes les fonctions transcendantes exprimant 
des phénomènes naturels qui nous aient été jusqu’ici accessibles. 
Le premier consiste en ce que les fonctions sont continues, c’est- 
à-dire telles, que, si l’on fait croître leurs variables par différences 
assez faibles, elles éprouveront elles-mêmes des accroissements (posi 
tifs ou négatifs) inférieurs à une fraction quelconque assignée de leurs 
valeurs (finies) et, par conséquent, à toute quantité fixe autre que zéro 
déterminée à l’avance, si petite qu’elle soit. C’est ce qu’on appelle 
simplement la continuité des fonctions, mais qu’on pourrait appeler 
aussi leur continuité absolue, pour indiquer que les changements y 
sont dits petits à raison de leurs valeurs absolues, sans qu’on ait à s’y 
préoccuper de leurs rapports aux fonctions elles-mêmes, à la grandeur 
desquelles l’unité de mesure choisie est justement proportionnée. 
Le second caractère consiste en ce que les fonctions dont il s’agit 
varient graduellement, c’est-à-dire presque uniformément pour de