Full text: Partie élémentaire (Tome 1, Fascicule 1)

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DERIVEE OU PENTE D’UNE FONCTION. 
vu que m exprimera le quotient très élevé • Ainsi, la propriété de 
graduelle variation revient à dire que des accroissements suffisam 
ment petits A.y d’une fonction sont sensiblement proportionnels à 
ceux t\x de la variable, ou que le rapport ^ de pareils accroisse 
ments simultanés ne varie plus d’une manière appréciable, si petit 
qu’j devienne Èsx. 
Autrement dit, le rapport 
i\y f(,T'-\- A .t) - — f(:T ) 
de l’accroissement de la fonction à celui de la variable, tend vers une 
limite déterminée quand ce dernier s’évanouit. Cette limite, d’où kx 
a disparu, mais qui dépend encore de x, est évidemment une nou 
velle fonction de x, à laquelle la loi de la continuité relative des 
choses s’appliquera comme kf{x). On l’appelle la dérivée de f{x). 
Newton la désignait par la même lettre que la fonction proposée elle- 
même, mais surmontée d’un point. Lagrange a remplacé le point par 
un accent qu’on met à la suite. Par exemple, la dérivée de y ou de 
f{x) s’écrira soit y', soit f\x). 
La dérivée y' peut recevoir d’autres noms, suivant le mode de re 
présentation qu’on adopte pour la fonction. 
Si celle-ci, y = f{&), est figurée par une courbe, AB, rapportée à 
un axe horizontal Ox des abscisses et à un 
axe vertical 0/ des ordonnées, les accrois 
sements, isx et Ay, éprouvés par les coor 
données x ely quand on passe d’un point 
M à un point voisin M', se construisent 
en menant les deux ordonnées correspon 
dantes MP, M'P', et en les coupant par 
l’horizontale MH, de manière à obtenir 
l’accroissement HM' de l’altitude Y entre 
les deux points M et Mb La projection ho 
rizontale PP' ou MH de la corde MM' qui 
les joint exprime évidemment \x, et l’élé 
vation HM' ( positive ou négative) de AP au- 
t Ar . HM' 
Le rapport n est donc autre que -^jj 
ou, justement, ce qu’on appelle la petite de la corde MM'. Il fixe la di 
rection de cette corde; car il égale, dans Je triangle rectangle MHM', 
la tangente trigonométrique de l’angle HMM'qu’elle fait avec l’horizon- 
Fig. 6. 
dessus de M exprime Ay.
	        
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