33 
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA DÉRIVÉE. 
10. — Expression, par la dérivée, d’un rapport d’accroissements finis; 
invariabilité de la fonction quand la dérivée s’annule; théorème de 
Rolle. 
De ce qui précède, il résulte évidemment que deux accroissements 
finis (et non plus insensibles), Ax et Ay, de la variable x et de sa 
fonction continue y—f{x), résultent toujours, quelle que soit leur 
grandeur, de l’addition d’accroissements successifs très petits, j>ositifs 
ou négatifs, 7q, 7q, . .., h m pour la variable et Aq, Aq, . . ., k m pour 
la fonction, dont les rapports respectifs 
ir’ ’ •••> tendent, à 
ài h 2 h m 
mesure que le nombre m augmente et que chaque accroissement di 
minue, vers les diverses valeurs de la dérivée f'{x) correspondant aux 
valeurs de la variable intermédiaires entre les deux, x et x Ax, que 
l’on considère. De plus, les dénominateurs 7q, h 2 , ..., h rn peuvent 
être supposés tous de même signe, puisque rien n’empêche môme de 
les prendre égaux. Or le théorème relatif à l’addition terme à terme 
de rapports inégaux (p. 12), déjà appliqué plusieurs fois, montre 
que, si l’on forme les deux sommes Ay = Aq AqH- ... -t- k m et 
Ax — 7q + A 2 + .. . + h m , indépendantes de m, le quotient sera 
compris entre le plus petit et le plus grand des rapports 
Ai 
V 
et, par suite, entre leurs valeurs limites qui sont la plus petite et 
II 
la plus grande que reçoive la dérivée f quand sa variable va de x à 
x -t- Ax. Ainsi, le rapport de tout accroissement d’une fonction con 
tinue, à L’accroissement simultané de sa variable, se trouve compris 
entre la plus petite et la plus grande des valeurs de la dérivée dans 
l’intervalle même que représente cet accroissement de la va 
riable. 
On déduit immédiatement de ce principe : i° que, si, dans un cer 
tain intervalle, la dérivée f est positive ( tout en pouvant s’annuler 
pour des valeurs isolées de la variable), les rapports y seront po 
sitifs ou que, en d’autres termes, la fonction y variera dans le même 
sens que sa variable, croissant quand elle croîtra, décroissant quand 
elle décroîtra ; 2 0 que si, dans un certain intervalle, la dérivée est né 
gative ( tout en pouvant encore avoir de distance en distance des va 
leurs milles), la fonction y variera, en sens inverse de sa variable, 
décroissant quand elle croîtra, croissant quand elle décroîtra ; 3° enfin, 
que si, dans un certain intervalle, la dérivée s’annule constamment, 
B. — I. Partie élémentaire. 
3