DERIVEE D’UNE PUISSANCE. 
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infinie en même temps que car, dans le voisinage, là où les varia 
tions de la fonction sont déjà hors de toute proportion avec celles de 
la variable, cette dérivée ne peut manquer d’être extrêmement grande 
(en valeur absolue), et d’autant plus qu’on est plus près de la valeur 
critique x = a. 
12. — Suite : dérivée d’une puissance. — Démonstration de l’existence 
du nombre e. 
Si, dans un produit y — uvw ... de n facteurs u, v, w, ..., ceux-ci 
deviennent égaux, ou que l’on ait y=u n , la formule (i) se réduit à 
L- — --. Or la même relation simple continue à avoir lieu quand n 
y u 
est un nombre entier négatif (— m), cas où, par définition, u' 1 ex 
prime le quotient —en effet, la première formule (2), en rempla 
çant dans son second membre u par 1, v par u m et, par suite, res- 
11' , v mu! . i ■ y' — mu ' nu ' 
pectivement, — par zéro, — par ■—-, donne bien — =r — = 
1 ’ u 1 v 1 u y u u 
Et elle s’étend également au cas de n égal à une fraction quelconque ^ 
(où l’on peut toujours supposer le dénominateur q positif), cas où, 
par définition, y — u n n’est pas autre chose que la racine \/u p , sup 
posée réelle, mais prise avec l’un quelconque des signes qu’elle 
pourrait comporter. Alors les deux expressions r' 7 , u p , à exposants 
entiers, représentent identiquement la même fonction, dont la dérivée 
divisée par cette fonction elle-même vaudra, par suite, à volonté, 
.. qy' . pu' ri • x i Y P u ' nu i * . , 
soit -—, soit —• 11 vient donc encore — — - — ~ Ainsi, auel 
y u y q u u 1 n 
que soit l’exposant n, positif ou négatif, entier ou fractionnaire et 
même (par raison de continuité) incommensurable, le rapport de 
la dérivée de u n à cette fonction u n elle-même a pour valeur 
On en déduit que la dérivée d’une puissance quelconque, u n , de 
toute fonction u, s’obtient en diminuant algébriquement l’expo 
sant d’une unité, puis en multipliant le résultat par l’exposant 
primitif et par la dérivée de la fonction u. 
Supposons, par exemple, qu’on ait n — ^ ou qu’il s’agisse d’obte 
nir la dérivée de \Ju : il viendra - u'~ i u', c’est-à-dire —^Ainsi, la