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PETITS ACCROISSEMENTS D’UNE PUISSANCE. 
dérivée d’un radical carré est le quotient de la dérivée de la quan 
tité sous le radical par le double du radical. 
Dans le cas particulier où la fonction u n’est pas autre chose que la 
variable même x et où l’on a, de la sorte, Am = Ax, — = i, u' — i, il 
Ax 
vient, comme dérivée de x n , y' =nx n ~ l . Cette expression se réduit 
sensiblement k y' — n lorsque x n ~ x diffère très peu de l’unité : ce qui 
arrive toujours quand x en diffère lui-même suffisamment peu. Par 
conséquent, si x éprouve, à partir d’une première valeur x — \, un 
accroissement II assez faible pour que, dans tout cet intervalle H, 
l’écart de x n ~ x d’avec l’unité reste une très petite fraction de celle-ci, 
on aura, d’après une formule précédente (p. 35), où il faudra poser 
Ax = H et Ay r= ( i + H ) n — j, 
(i -+- H)"— i = «H (i -+- z), 
i -+- s exprimant un nombre, très peu différent de i, compris entre les 
deux valeurs extrêmes i et (i h-H)" -1 de x n ~ x . Or (i + H)" -1 , quo 
tient de (i + H) w par i -+- H, s’écartera peu de l’unité, et il en sera, 
par suite,de même du rapport i + e des deux expressions (i + II)" — i, 
«H, si (i-t- H)" diffère peu de i en même temps que i -+- H. Mais, 
pour de petites valeurs successives de II s’éloignant de plus en plus 
de zéro, les deux fonctions (i -+- H)“— i, /¡H s’en éloignent toutes les 
deux de plus en plus, et, dans ces conditions de petitesse de H, leur 
quasi-égalité relative, même en cessant d’être fort approchée si (i + H)" 
commence à différer sensiblement de i, ne permet pas à la première, 
(i H- H)"— i, de s’y écarter d’une manière un peu notable de zéro sans 
que la seconde, /iH, en fasse autant; de sorte que, pour les faibles va 
leurs considérées de H, ces deux fonctions restent, ou non, fort voisines 
de zéro toutes les deux à la fois. Ainsi, dire que i +11 et (i-f-H)" 
diffèrent peu de i équivaut à dire que II et «H sont très petits par 
rapport à l’unité; et la formule ci-dessus peut s’écrire encore 
(3) (pour II et nII très petits) (i + H)" = i -+- nH(i + z), 
s tendant vers zéro quand le plus grand (en valeur absolue) des deux 
nombres H, n\l y tend lui-même. 
Cette relation (3) mérite l’attention; car, si l’exposant n y est une 
quantité continue, recevant par conséquent des valeurs incommensu 
rables, le premier membre est transcendant, tandis que le second, où 
n se trouve devenu un coefficient, est algébrique, quand on le réduit, 
avec une approximation susceptible de grandir indéfiniment, à i-h/zH. 
La formule établit donc comme un passage de l’algébrique au trans-