EXISTENCE DU NOMBRE 6. 
Cendant, ou les relie l’un à l’autre, quoique ce passage ne soit, pour 
ainsi dire, qu’un simple point de contact, puisqu’il ne concerne que 
les puissances de nombres très voisins de i ayant elles-mêmes leurs 
valeurs très voisines de l’unité. 
Aussi tirerons-nous un grand parti de la relation (3). Servons- 
nous-en ici, d’abord, pour prouver l’existence de ce qu’on appelle le 
nombre e, c’est-à-dire d’une limite de l’expression ( 1 + — ) ’ dans 
laquelle m désigne une quantité qui grandit indéfiniment. Il faut, 
pour cela, montrer que, m étant déjà supposé suffisamment grand, le 
nombre ^ ? que j’appellerai E, diffère aussi peu que l’on veut 
/ j \ km 
de la nouvelle valeur, Ej = i i+ j— j , qu’il recevrait, si m prenait 
toute autre valeur absolue plus grande et devenait km, où k serait 
ainsi un facteur positif ou négatif supérieur à l’unité, mais d’ailleurs 
quelconque. 
En effet, si, dans (3), on fait II = -=-!— et n — k, le produit /¿H — 
’ ’ v n km 1 m 
sera fort petit, et cette formule (3) donnera 
d’où 
ou 
et, en divisant par E, c’est-à-dire par (^i -h , puis appelant s 1 le 
quotient (sensiblement égal à s) de s par i —f- —, 
Appliquons enfin à l’expression ( i h— — 1 la formule (3), en y po 
m 
sant H — — ■> n—m \ ce qui donnera comme résultat, à fort peu près, 
i -h Si ou, par suite, i + e; et il viendra, très sensiblement, 
Ej — E — Es. 
Donc, quand la valeur absolue de m, supposée déjà assez grande,