DÉRIVÉE D’UN ARC DE COURBE.
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x, y, z, par rapport à un système d’axes rectangulaires, sont trois
fonctions données/i,/ 2 ,/3 du temps t. Ce chemin, qu’on désigne d’or
dinaire par s, se compte à partir du point particulier A (fig. 8) de la
courbe décrite, où se trouvait le mobile à un moment donné, et posi
tivement pour les époques ultérieures à ce moment, négativement poul
ies époques antérieures. Il est clair que, ayant une certaine valeur à
chaque instant, il constitue bien une fonction de t déterminée, dont
la dérivée doit pouvoir s’obtenir dés que l’on connaît, par les trois
relations x =/](£), y =f 2 (t), z = / 3 (t), la loi du mouvement.
Soit AM = s l’arc, parcouru jusqu’à l’époque t où le mobile se trouve
en un point M ayant les coordonnées x, y, z, et MM' l’arc très petit
décrit, aussitôt après, durant un instant At, arc que nous appellerons
As parce qu’il est l’accroissement de s correspondant à A t. Et nous dé
signerons naturellement par x + Ax, y -+- Ay, z + Az les coordonnées
de la situation M' du mobile à l’époque t -+- A t, afin que Ax, Ay, Az
expriment les accroissements respectifs reçus par x, y, 5 lors de ce
passage de M à M'.
Ces accroissements se construisent, comme on sait, en menant par
M et par M 7 des plans parallèles aux
¡dans coordonnés des yz, des zx,
des xy, et en mesurant, le long des
droites MP, MQ, MR formées par
leurs intersections mutuelles, l’écart
de deux de ces plans qui sont paral
lèles soit aux yz, soit aux zx, soit
aux xy. Les trois arêtes MP, MQ,
MR du parallélépipède MPQRM 7 ,
~ comptées positivement ou négative
ment suivant qu’elles sont tirées dans
les sens respectifs de Ox, O y, O z
on dans les sens contraires, expri
ment donc Ax, Ay, Az. Or, la diagonale MM 7 , représentée aussi par
y/(MP) 2 -h (MQ) 2 + (MR) 2 , est la corde de l’arc As et a avec As, d’a
près le théorème de la fin du n° 5 (p. 16), un rapport très peu diffé
rent de Limité : As égale ainsi leprodnitde y/(MP) 2 + (MQ) 2 -+- (MR) 2
par un facteur tendant vers l’unité quand A t tend vers zéro, et, comme
As
MP — ±Ax, MQ =:± Ay, MR— zb As, le rapport —, dont on se
projiose d’obtenir la valeur limite, est le produit de
Fis. 8.
/
M'
/ <
/
Ax
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