TROISIÈME LEÇON. 
SUITE : ÉTUDE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES 
ET CIRCULAIRES. 
16. — Notion et dérivée de la fonction exponentielle et de la fonction 
logarithmique. 
On est conduit, le plus simplement possible, à la fonction expo 
nentielle, en cherchant à former, avec les puissances successives (à 
exposants entiers), 
..., K-", ..., K-*, K- 1 , K° ou i, K 1 , K 2 , ..., K",..., 
d’un nombre K plus grand que i, les diverses valeurs d’une fonction 
continue y — f{x) allant de zéro à l’infini ; ce qui revient à construire, 
avec ces valeurs pour ordonnées, une courbe sans cesse montante, 
appelée une logarithmique, comprise entre les limites y— o et y— oc 
quand l’abscisse grandit de x ——oo à x — oo. Pour que ces puis 
sances K/ 1 , dont chacune est le produit de la précédente par K, 
n’augmentent que très peu de l’une à l’autre, il faut prendre ce 
nombre K à peine plus grand que i, ou de la forme i H—— , m dési 
gnant, par exemple, un nombre entier et positif considérable. De plus, 
en portant à côté les unes des autres et au-dessus de l’axe des x les 
ordonnées successives ainsi calculées de la courbe, on devra, pour la 
continuité, placer chacune d’elles très près de la précédente et, par 
conséquent, prendre l’abscisse x égale non pas à l’exposant n, dont 
l’accroissement élémentaire ou le plus petit possible est i, mais à 
n fois une très petite fraction de l’unité de longueur, fraction qui re 
présentera ainsi l’unité d’exposant. Or il est naturel de choisir pour 
celte fraction celle même, qui, ajoutée à l’unité, a donné le 
nombre K et servi de base à tout le calcul. On aura donc, d’une part, 
( "[ \ fl fis 
x ) ? d’autre part, x ■= — ou n — mx, et, par conséquent,