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DÉVELOPPEMENT DE 6 X ) VALEUR DU NOMBRE 6.
série y tend elle-même. Or c’est ce qui a lieu; car, dans l’expression
*+•
• * J
I 1.2 I .2.3
. .(/l + l)
i.2.3.
I .2.3. . .Tl
le rapport du (/z+2) ième terme au (/i + i) iûmc égale —et tend vers zéro
quand n grandit sans limite. Par conséquent, d’après le caractère de
convergence le plus simple (p. 8), la série considérée a une valeur
finie assignable, parfaitement déterminée, quel que soit x entre —oo
et +oo. La formule (12) deviendra donc, en passant à la limite et
remplaçant le premier membre par e x ,
C’est ainsi que la fonction transcendante e x , réduite en série, con
stitue, comme on voit, le forme limite d’une fonction algébrique en
tière, ou d’un simple polynôme. Et l’on reconnaît de suite que cette
série a bien pour dérivée une série égale.
La formule (i3), en y faisant x — x, donne la valeur du nombre e
sous la forme très convergente
-i i +
1.2 1.2.3
+
1.2.3...n
On en déduit, par le calcul du second membre, e = 2,7182818. . .. Les
diverses puissances de ce nombre deviennent évidemment aussi grandes
que l’on veut quand leur exposant est positif et croissant, aussi pe
tites ou, du moins, aussi voisines de zéro que l’on veut quand leur
exposant est négatif et décroissant vers —00; de sorte qu’en y com
prenant les valeurs fractionnaires de l’exposant, elles forment bien
une suite continue croissant de zéro à l’infini lorsque la variable y
grandit de — 00 à + 00.
On conçoit que la formule (i3) puisse servir à calculer une Table de
cette suite de valeurs, Table où il sera possible de lire à l’inverse,
pourvu qu’elle soit assez complète, la valeur même de x correspon
dant à telle valeur positive de y=e x que l’on voudra. C’est cette
fonction x, inverse de y — e x , qu’on appelle la fonction logarith
mique, ou, plus précisément, le logarithme de sa variable y, et qu’on
écrit logy. Elle est évidemment croissante, comme e x , et même
depuis —00 jusqu’à + co; mais sa variable, e x ou y, n’y varie que de
zéro à + 00, rendant la fonction considérée x négative, tant qu’elle
est elle-même plus petite que i, et positive, dès qu’elle dépasse l’unité.
On verra plus loin, pour calculer les diverses valeurs de logy, un