l’expression
+ i)
tend vers zéro
caractère de
a une valeur
x entre — oo
la limite et
ie, con
fie en-
le cette
mb re e
818.... Les
ussi grandes
t, aussi pe-
quand leur
u’en y com-
arment bien
la variable y
me Table de
à l’inverse,
n correspon-
C’est cette
logarith-
■ y, et qu’on
, et même
r arie que de
tant qu’elle
asse l’unité.
Je logy, un
FONCTION LOGARITHMIQUE : SA DERIVEE, ETC.
5i
procédé beaucoup plus expéditif que la formation et l’emploi d’une
Table de la fonction exponentielle. Mais on n’en possède pas de for
mule générale simple analogue à la série (x3). Tout ce qu’on peut
faire à cet égard, pour la présenter comme limite d’une fonction algé
brique, non plus entière (comme pour e*), mais irrationnelle, c’est
de résoudre par rapport à x l’équation (i3), qui revient, d’après ce
qu’on a vu, à
=^(i + e)=7(i + £),
si e désigne une petite quantité tendant vers zéro avec Or l’extraction
de la racine arithmétique m ième des premier et troisième membres
donne, en se servant finalement de Informulé (3) [p. l\6\ pour réduire
X
l’expression (i + t)" 1 et en appelant z 1 une nouvelle quantité très pe-
tite sensiblement égale à s,
i +
^(i+sr = 7>(i +
d’où
log y est simplement l’inverse -
y
x ou logy = m(fy — i) h- e t 'Vy,
et, en faisant croître m indéfiniment,
(i4) lo gy = lim m ("\/y — i), pour m infini.
La dérivée de cette fonction inverse x = lo gy égalera, d’après la
règle du n° 14 (p. 43), le quotient de l’unité par la dérivée de la fonc
tion directe y = e x , c’est-à-dire par y' = e x =y. Ainsi, la dérivée
de la fonction logarithmique x
de sa variable.
La principale propriété des logarithmes résulte de ce qu’ils représen
tent proportionnellement des exposants entiers de i + — qui s’ajoutent
ensemble quand on multiplie les puissances correspondantes, lesquelles
expriment (à la limite ou pour m infini) des nombres positifs quel
conques : elle consiste donc en ce que le logarithme d’un produit
égale la somme des logarithmes de ses facteurs. Et l’on sait combien
sont nombreux les calculs, presque impraticables autrement, qu’elle
rend aisés, quand on possède une Table contenant les logarithmes
d’une suite un peu étendue de nombres entiers. Or on sait aussi que
ces calculs, dans le système décimal usuel de numération, deviennent
encore plus commodes, en inscrivant sur la Table, vis-à-vis des