FONCTIONS COSINUS ET SINUS : LEURS PROPRIÉTÉS LES PLUS SIMPLES. 53 
logy désigne l’exposant dont il faut affecter le nombre e pour obte 
nir y, on déduit 
y = e u Io s« = (e loga ) u 
et enfin, vu que e l0 s a exprime de même a, 
y — a u . 
Ainsi la fonction y = a“ est l’inverse de la fonction u = , On 
J loga 
l’appelle l’exponentielle à base a. Sa dérivée sera elle-même, par suite, 
l’inverse de la dérivée ——de u, et elle vaudra rloga ou a u \oga. 
y\oga . 
Donc l’exponentielle a 11 , où l’exposant est pris comme variable indé 
pendante, a pour dérivée le produit de sa propre valeur par le lo 
garithme népérien de la base a. On voit que, dans le cas particulier 
a — e, où la fonction se réduit à e x , la dérivée devient bien égale à la 
fonction, car loge = i. 
Pour développer l’exponentielle a n , ou e lllo s a , en une série procé 
dant suivant les puissances ascendantes de «, il suffît évidemment de 
remplacer x, dans la formule (i3) de e r , par la valeur uloga de 
l’exposant de e. 
17. — Notion et dérivée des fonctions circulaires. 
Imaginons qu’une circonférence de rayon i (p. 54), rapportée à deux 
axes rectangulaires d’abscisses x et d’ordonnées y passant par son 
centre, soit parcourue indéfiniment par un mobile M, suivant le sens 
de Ox vers O y dans l’angle droit xOy ou de O y vers Ox hors de 
cet angle, et que, de plus, l’arc décrit u = AM se compte, à partir d’un 
instant où le point M se soit trouvé en A sur la partie positive de 
l’axe des x, positivement pour les époques ultérieures, négativement 
pour les époques antérieures : on sait que l’abscisse x — OP et l’or 
donnée y — PM du mobile à un instant quelconque seront dites, 
respectivement, le cosinus et le sinus de cet arc u. En d’autres 
termes, les deux fonctions cosm, sin« sont celles qui expriment 
les deux coordonnées quand, dans le cercle considéré de rayon i, 
on prend l’arc pour variable indépendante, comme on a vu au n° 13 
(p. 45) qu’il était possible de le faire dans toute courbe. 
De là résultent immédiatement plusieurs conséquences, 
i° Obse rvons, d’une part, que des ¡joints de la circonférence symé 
triques par rapport àO* ont même abscisse x, mais des ordonnées y 
égales et de signes contraires; d’autre part, qu’ils sont atteints par le 
mobile à des instants où l’arc u a aussi des valeurs égales, mais de