DÉRIVÉES DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
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issant de - un
2
e l’on fait d’or-
sinusoïde KL,
onférence pré
est z = sin U,
ux entre eux et
F'F, .. ., mais
des abscisses,
ice tc déroulée
erait peut-être
on cosinus (ce
', par le som-
extrémité C);
soit des sinus,
on donne la
Y sm u ,
— OU J G
X COS U
mobile M d
ante, impair
ngente mené
la rencontr
et compté
du côté des
on sait, cett
complémen
- inverse du
u
e l’arc u. Ces
nx premières,
sinus et cosinus : i° en ce que, représentant leurs rapports, elles res
tent les mêmes quand un accroissement tt donné à l’arc change les
signes du sinus et du cosinus, de sorte que leur période est x et non
2tz; 2° en ce que l’annulation de leur dénominateur cos u ou sinr/,
pour les valeurs de l’arc égales aux multiples impairs ou pairs de
les fait, dans chaque intervalle tc, passer une fois par l’infini avec
changement de signe, de manière qu’elles y parcourent ensuite gra
duellement toute l’échelle des grandeurs entre —oo et -+- oo, tandis
que le sinus et le cosinus ne cessent jamais d’être continus entre les
limites — i et -h i de leurs oscillations.
Cherchons actuellement les dérivées de ces quatre fonctions. Pour
avoir celles du sinus et du cosinus, faisons croître l’arc AM = a (p. 54)
d’une très petite quantité A u — arcMM', dont le rapport à sa corde
MM' sera, d’après un théorème démontré au n° 3 (p. 16), de la
forme i + s, si e désigne une quantité tendant vers zéro en même
temps que Au\ et comparons, à cet accroissement \u = (i -+- s)(MM'),
l’accroissement correspondant Ay du sinus, c’est-à-dire, en valeur ab
solue, la différence P'M'— PM = QM', ainsi que celui Ax du cosinus
ou encore, en valeur absolue, la différence OP — OP'—P'P= QM.
On aura donc
(i5) (en valeur absolue)
A sin u
Am
QM' A cosu. _ i QM
Ml ’ ~~IüT ~ iH-e MM 7
Or le triangle rectangle QMM' tienne, d’après une propriété connue,
QM'
MM 7
= cosQM'M,
QM
MM 7
= sinQM'M.
De plus, l’angle aigu QM'M, qui a déjà un côté, QM', perpendi
culaire au côté OA de l’angle AOM = u, tend à avoir son autre
côté, MM', perpendiculaire à l’autre, OM, du même angle AOM;
car, le triangle isoscèle MOM' ayant son angle O au sommet de plus
en plus petit à mesure que décroît MM', son angle M à la base, demi-
supplément de l’angle au sommet, s’approche indéfiniment d’un
droit : QM'M diffère donc aussi peu qu’on veut d’un angle, aigu
comme lui, dont les côtés seraient perpendiculaires à ceux de AOM.
Par suite, cet angle aigu vers lequel tend QM'M a, aux signes
près, même sinus et même cosinus que AOM ou l’arc u ; car, quels
que soient le signe et la grandeur de m, le cosinus et le sinus de u
sont les deux coordonnées x et y du point M, c’est-à-dire, en va
leur absolue, le cosinus et le sinus de l’angle AOM considéré comme
positif et inférieur à deux droits, angle qu’on sait être alors ou l’égal