FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES.
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Ainsi, la dérivée de la tangente égale l’inverse du carré du cosinus
et, celle de la cotangente, l’inverse du carré du sinus changé de
signe.
On voit que chacune de ces deux fonctions a sa dérivée toujours de
même signe : elles sont donc, quand leur variable grandit, Tune, con
stamment croissante, l’autre, constamment décroissante, partout où
elles varient graduellement. Et, en effet, dans chaque intervalle it où se
. . . . n , sin u
font de q=oo à ± oo les variations continues soit de la tangente ggg ’ soit
de la cotangente 221IL, C es variations sont toujours de même sens. Le
° sm u
passage inverse de ± oo à qr oo se produit par le saut brusque ordi
naire aux fractions dont le dénominateur s’annule : il a lieu entre
la fin d’un intervalle et le commencement du suivant, à un instant où
n’existe plus la continuité de la fonction ni, par suite., sa dérivée.
Enfin, aux fonctions circulaires ou trigonométriques directes
,z = sini/, z — co$u, ^ = tangii, z = cot u,
il correspond évidemment des fonctions inverses, où l’arc u est con
sidéré comme dépendant de z, c’est-à-dire de son sinus, ou de son
cosinus, ou de sa tangente, ou de sa cotangente. On les appelle fonc
tions circulaires inverses et on les désigne respectivement par les
signes arc sin, arc cos, arc tang, arc cot, suivis de l’expression même
de la variable qui est ici z, dénominations signifiant alors arc qui a
pour sinus z, ou arc qui a pour cosinus z, etc.
Contrairement à ce qui arrivait pour la fonction logarithmique,
elles ne sont pas complètement déterminées; car, par exemple, un
même sinus donné peut être celui d’une infinité d’arcs différents. Aussi
faut-il, quand on les emploie, définir par quelque condition accessoire
le champ, c’est-à-dire l’intervalle où on les suppose comprises, en
choisissant pour les limites de cet intervalle deux arcs, distants de ir,
tels que, u variant de l’un à l’autre, la variable z aille ou en y aug
mentant toujours, ou en y diminuant toujours, de manière à ne pas
passer deux fois par la même valeur et, par conséquent, à ne pas
donner deux valeurs de u pour une seule s qu’elle aurait elle-même.
Donc, si ^ est un sinus, on ne fera, à moins d’avis contraire, mouvoir
l’extrémité M de l’arc u = AM (p. 54) que d’un seul côté de l’ave
des y, savoir du côté des x positifs quand on voudra que u gran
disse en même temps que son sinus z, et du côté des x négatifs quand
l’arc u devra, au contraire, décroître pendant que son sinus grandira.
D’ordinaire, on choisit l’arc entre les limites — ~ ou le plus petit en