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LES CALCULS DÌNFINIMENT PETITS.
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GS
C’est dire que, si la limite du rapport ~ est nulle ou finie (ce
qu’on suppose puisqu'on cherche à l’évaluer), la limite du rapport
p
-k- lui sera bien égale.
2° Calcul d’une somme.
pi
Quand une infinité d’infiniment petits se suivent dans une somme
algébrique, il y en a toujours une infinité à la suite qui ont môme
signe; parce que, la loi de la continuité relative des choses les astrei
gnant à varier d’une manière graduelle, chacun d’eux ne diffère en
général du précédent que par une fraction infiniment petite de sa
propre valeur. Les changements de signe au passage d’un terme à
l’autre ne se produisent ainsi que de loin en loin; et la somme consi
dérée peut se subdiviser en sommes partielles, composées chacune
d’une infinité de termes de même signe.
Bornons-nous donc à une de ces sommes partielles, *i+*2+ a 3“t -.. .-¡-a,,;
et admettons qu’elle tende vers une limite finie, à mesure que cha
cun des termes désignés par la lettre a s’approche de zéro, tandis que
leur nombre augmente de plus en plus. Je dis qu’on pourra remplacer
cette somme ^ + «2+ ... +a„ par la somme +13 2 + , .. + (3 W , pourvu
que les rapports des nouveaux infiniment petits
3,
précédents a 1} a 2 , ..., a n tendent vers l’unité, c’est-à-dire pourvu que
l’on ait, eu appelant £ t , e 2 , ..., s ;i des quantités évanouissantes,
S,
= 1
P«
Cela résulte immédiatement d’un théorème, déjà plusieurs fois in
voqué, sur une suite de rapports que l’on ajoute terme à terme
(p. 12). Ces rapports, à dénominateurs tous de même signe, sont ici
B S? B
—, —, et leur addition terme à terme donne le nouveau
*1 *2 */t
rapport, intermédiaire entre le plus petit et le plus grand,
pi
... + B,
Pour abréger l’écriture, on convient d’exprimer chaque somme par
B. — I. Partie élémentaire. 5
