PREMIÈRE PARTIE. 
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Lemme. Si on a entre des nombres entiers l’égalité 
[Q] H(H — 1)—1 =P.Y, 
si le chiffre des unités de l’un des facteurs P ou V étant 5, celui de l’autre fac 
teur est 3 ou 7, conditions qui donnent à l’égalité [Q] l’une des quatre formes 
suivantes : 
[1] (C8)(CT)—1 =(A7)(B5), 
[2] (C8)(C7)—1=(A3)(B5), 
[3] (C3)(C2)—1 =(A7)(B5), 
[4] (C3)(C2)— 1 =(A3)(B5). 
On peut toujours admettre que le plus grand des deux facteurs qui consti 
tuent le second membre est celui dont le chiffre des unités est 5 ; si cette cir 
constance n’a pas lieu, la réalité des égalités admises amène nécessairement 
des égalités de même forme dans lesquelles la condition précitée est vérifiée*. 
Choisissons d’abord les égalités [1] et [3], et admettons l’exactitude de l’inéga 
lité A7>B5 ; de cette inégalité on déduit, lemme précédent, B5<C7 et B5<X2 ; 
on peut enlever un certain nombre d’unités au facteur A7 des seconds mem 
bres, et conserver aux égalités nouvelles la forme des égalités [1] et [3], de 
chacun des nombres C8 et C7 d’une part, C3 et C2 de l’autre; retranchons un 
multiple impair ou pair de B5, et remarquons que cette soustraction arithmé 
tique est admissible tant que le facteur B5 conserve son état d’infériorité, rela 
tivement au facteur A7 ; or, passons immédiatement à la limite, le multiple que 
l’on doit retrancher est impair ou est pair. 
1 er Cas. Diminution de B5(2/z—J— 1 ), et recherche des modifications subies 
par les divers membres des égalités [1] et [3]. 
* L’énoncé du lemme actuel serait peut-être plus logique dans les phrases suivantes ; « Si on 
a entre des nombres entiers, l’égalité 
[Q] H(H — i) = p .o, 
et si le chiffre des unités de l’un des facteurs P ou v étant 5, celui de l’autre facteur pouvait être 
3 ou 7, conditions qui, etc,, etc., on pourrait toujours admettre que, etc., etc » Constatons 
en effet, a priori que les égalités [1], [2], [3], [4], sont des hypothèses essentiellement problé 
matiques , et meme le mot fictives serait plus exact; hypothèses qui amènent le lemme actuel, 
mais hypothèses dont l’inexactitude est ensuite prouvée par le théorème qui suit le lemme actuel.