PREMIÈRE PARTIE.
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restes en changeant les signes ; 2° le diviseur employé étant premier absolu et
de la forme kq-(—3, le changement de signe donne aux restes l’étal de non-
restes., et réciproquement.
Reprenons actuellement notre recherche principale : l’équation iâ— 5 = P. t
sera toujours résoluble en nombres entiers si nous prouvons que, dans
les conditions précitées, on peut obtenir un carré exact entier, tel que la
division de ce carré par P = 5^ -J- 1 ou par P = 5q — 1, donne le reste 5.
1 er Cas. P = 5<7 —j— 1. Choisissons un nombre a inférieur à P, et capable de
vérifier l’égalité
[M] « 5 —1=P.N;
le reste 1 donné par a s étant la première reproduction de l’unité, lorsque l’on
divise par P les termes de la série a 0 , d f d, etc. *, de [M], on déduit
(a— 1 ) (ddda1) = P. N,
ou, puisque les nombres a — 1 et P sont premiers entre eux,
¿z 4 —|— « 3 —|— « 2 —|— ¿z —}— 1 =P. V ou 4- (¿z 4 —f——J— « 2 —|— « —j—1 ) ===== P.S,
ou enfin, (2a 2 -J-a-j-2) 2 ==P.S-J-5<T ! , le nombre 5d est donc un reste; d’ailleurs,
par suite des hypothèses, le facteur d appartenant au produit 5a 2 , n’est pas di
visible par P, ainsi les nombres d et 5d sont des restes ; donc, Lemme géné
ral II., le nombre 5 est un reste.
2 e Cas. P = 5</-J-4 = 5Q — 1 **. 1° Soit P un nombre premier absolu , soit r
un non-reste, et par suite soit l’équation d—r — V.j non-résoluble en nombres
entiers : considérons enfin l’expression suivante :
r . -| G* + \4-) P+ ‘ — (-g — y/y) g+l M
* Le choix de a est toujours possible, le nombre P — 1 étant un multiple de 5, qua
trième partie, n° IIS.
** La recherche actuelle est pour nous un accessoire, la démonstration donnée dans le
texte emploie plusieurs principes généraux sur les racines primitives, principes que l’on démontre
dans la quatrième partie de cet ouvrage, la démonstration actuelle présentée dans le texte est
d’ailleurs assez pénible, mais elle est la seule connue, appartient à Lagrange, nous avons du
l’abréger; elle est consignée dans les Mémoires de VAcadémie de Berlin, 1775, page 352.
