PREMIÈRE PARTIE. 
H7 
nombres pris dans la série 0, 1, 2, 3, ...P — \, seront applicables à l’équation 
M 1 = P.Ü; 3° donnons maintenant au nombre P la forme 5#/ —4-, soit e — 5, 
soit r un non-reste, soit enfin le nombre a déterminé de manière à rendre di- 
visible par P l’expression ——- , cette détermination est toujours 
\ r 
possible, paragraphe précédent, et l’expression devient 
1O« 4 -j- 20 «V Ir 1 ou 2 [(/’ -j- 5 d'f — 20« 4 ], 
on a donc l’égalité (/’-|-5« 2 /=P.T-j-5(4« 4 ); en d’autres termes, 5(4« 4 ) est un 
reste, d’ailleurs le nombre 4cù n’étant pas divisible par P, puisque «ne peut être 
divisible par P, il est manifeste, 2 e lemme général, que le nombre 5 est un reste. 
Équation. x*-\-2x— 1 =P./. 
Théobème, Étant donné à résoudre, en nombres entiers, l’équation 
x 
+ 2^—1 =P.jk, 
si le nombre P, premier absolu, présente l’une des formes —(— 1, 8q—1, la 
résolution proposée est toujours possible : l’hypotbèse x-\-\—u donne à 
l’équation proposée la forme il—2 = P./, on peut donc faire les raisonnements 
sur cette dernière équation; en d’autres termes, on doit démontrer que, dans les 
conditions indiquées, un carré exact entier divisé par le nombre P, donne le 
reste 2. 
1 er Cxs. P = 8*7 —1. Soit le nombre a une racine primitive de P, on a 
j-1 =P-h ou (« 29 -(-1 = P.k -J- 2,« 2<? ; ainsi le nombre 2.« 2<? est un reste; or, 
le nombre if q , non-divisible par P, est un reste; donc, 2 e lemme général, 2.est 
aussi un reste. 
2 e Cas. P = 8^—1, c’est-à-dire P = 8^-j-7. Étant donnée à résoudre, en 
nombres entiers, l’équation il — 2 — P.jr, si on fait le calcul en substituant suc 
cessivement à P des nombres premiers peu élevés, et de la forme 8/7—1—3, 8^—|— 5 ; 
par exemple, des nombres inférieurs à 100 : ce calcul prouve que, dans ces 
conditions, la résolution proposée est impossible; or, la loi déduite de cette 
induction est générale : remarquons d’abord que les nombres représentés 
par 8</-}-1 ou par 8^ —J— T ne peuvent donner que des produits ayant l’une ou