DEUXIÈME PARTIE. 
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Cet algorithme très-simple, et dont on peut démontrer la généralité, est 
analogue à celui que l’on emploie pour la formation des réduites d’une fraction 
continue, la solution précédente comprend tous les cas, excepté celui de l’éga 
lité à zéro de l’un des nombres <z 0 , ¿z 2 ,... a m . 
Si le trinôme F' 0 = (æ 0 c 0 ) devient le trinôme b 1 c t ) , tout nombre 
qui pourra être représenté par F,, pourra être aussi représenté par F 0 : soient 
7>7oi x i/i » l es indéterminées des trinômes F 0 et F, : 1 0 admettons que le nombre M 
puisse être représenté par F,, au moyen du système x t = m, = n; 2° suppo 
sons que F 0 devienne F, par le système j? 0 = o 0 æ: 1 -|- ftji, ro^To^i + 'Vb les 
nombres a 0 , (3 0 , y 0 , vérifiant l’égalité a 0 & 0 — (3 0 y 0 = 1 ; il est évident que le poly 
nôme <a!oW 2 +2^o^o7o + c o(7o) 2 > dont le symbole est (a 0 b 0 c 0 ), devient M par la 
substitution x 0 = %fi, jr Q = y 0 /ra-|-£ 0 /z : si le nombre M peut être repré 
senté de plusieurs manières par F„ le même nombre M pourra être aussi 
représenté de plusieurs manières par F 0 ; si, par exemple, le nombre M est repré 
senté par F, en employant le système x 1 = m l , y 1 = n^ ce même nombre sera 
représenté par F 0 en employant le système x 0 = a. ü m l -|- (3 0 /z,, y o — ^ o m 1 ^,/z,, 
et remarquons que l’inégalité des deux systèmes x i —mj l = n, x t = m x )\ — 
qui donnent les deux représentations de M par Fi, amène l’inégalité des deux 
systèmes correspondants qui constituent les représentations de M par F 0 ; si 
effectivement les égalités simultanées 
«o^+ Po / * = a o" 2 l+00^11 To™ + K n = ÏO 
étaient exactes : 1° multipliant la première par & 0 , la seconde par (â 0 , et retran 
chant les résultats, on aurait m(a 0 & 0 —PoTo) — m i( a o^o'—*PoTo)î 2° multipliant la 
première par y 0 , la seconde par a 0 , et retranchant les résultats, on aurait 
n(a 0 & 0 — p o i Y 0 ) = «,(a 0 ^ 0 —PoTo)* e C P ar conséquent, on aurait m — m n n—n^ 
il suit de là que le nombre de représentations de M par F 0 , est au moins égal 
au nombre de représentations de M par F,; si donc les trinômes F 0 et F, sont 
équivalents , c’est-à-dire si l’un d’eux renferme l’autre , tout nombre qui 
pourra être représenté d’une ou de plusieurs manières par l’un, sera repré 
senté d’une ou d’autant de manières par l’autre ; remarquons aussi que le plus 
grand commun diviseur des nombres m et n, est égal au plus grand commun 
diviseur des nombres (a 0 m-|- fi 0 n) , (y 0 m —j— /z) ; admettons, en effet, que 
A 0 étant le plus grand commun diviseur des nombres m et /z, le plus grand 
commun diviseur des nombres (a 0 /?z-|-[3 0 /z), (y 0 /zz-j-£ 0 /z), soit A,; choisissons