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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
auxiliaire Z 2 — D = M.S; les représentations du même nombre M par le tri 
nôme a i h l Cj, équivalent au précédent, seront liées, appartiendront aux 
mêmes solutions de l’équation auxiliaire Z 2 — D = M.S; et s’il n’y a pour le 
nombre M et par le trinôme (« 0 b 0 c 0 ) aucune représentation qui soit liée, ap 
partienne à une certaine solution de l’équation auxiliaire Z 2 — D = M. S, il n’y 
en aura aucune non plus qui soit liée, appartienne à cette même solution par 
un trinôme équivalent au premier. 
Si le nombre M peut être représenté par le trinôme (« 0 f\ c 0 ), dont les indé 
terminées sont x 0 p 0 , en substituant à x 0 y 0 les nombres m et n qui sont pre 
miers entre eux, si l’équation auxiliaire étant Z 2 — D —M.S, les nombres z i s t 
constituent la solution à laquelle appartient cette représentation, les deux tri 
nômes (<2 0 6 0 c 0 ) et («s. Zi M) sont équivalents. On a démontré, n° 54, que les 
nombres jx et v vérifiant l’égalité possible mn .v == \ , le nombre 
[x(mb 0 -\-nc 0 )—■ v(ma 0 -\-nb 0 ) était une valeur entière de Z applicable à l’équa 
tion Z 2 — Dr=M.S; les nombres ¡i et v peuvent être déterminés d’une infinité 
de manières; et si, à ces lettres, on substitue les valeurs générales ^¡ — jxzhnt, 
vi = v qz mt, la quantité pépib 0 -\-nc 0 )— nb^ zt M.i est encore une so 
lution de Z; or, puisqu’il existe une valeur z i correspondante au système x=m, 
y—n solution de l’équation proposée, on est certain d’obtenir pour ¡a et v 
des nombres entiers qui vérifient les deux égalités 
m. p. —j- m — 1, \jémb () -{- nc 0 ) —< v(pm () -j- nb 0 )=z t ; 
ce calcul fait, le système x 0 = m . x i —v.jr,, y^=.n. x i -j- change le trinôme 
(a 0 b ü c 0 ) en un autre (A B G) ; examinons la nature de ce dernier trinôme, 1 0 on 
a les trois égalités [H] 
A = ayrr -[- 2bpn. n - j- c* 0 n\ B = —- api .v -}- b (j {m.\L — m) -)- cp y , 
C = « 0 .v“ — 2—j— c 0 (x. 2 , 
et par suite 
B 2 —AC=[(6 0 ) 2 — a 0 c 0 ] (m.p-^-n, v) 2 ou B 2 —AC = (lyf — a 0 c 0 ; 
on a d’ailleurs l égalité f/.//z-j-v/z=1 ; donc les deux trinômes (a 0 b ü c 0 ) et (A B C) 
sont, n° 56, équivalents; 2° des égalités [H] et de l’égalité B 2 —AC=(è 0 ) 2 —¿z 0 c 0 , 
on déduit A==M, B = z l7 C — B - ■ - — s y, donc, enfin, les deux trinômes 
i a o K c o) et ( s i z i M) sont équivalents.