DEUXIÈME PARTIE. 139 
60. Les principes généraux établis sur les trinômes, donnent une partie des 
éléments nécessaires pour calculer un système x — m, j==. n, applicable à une 
équation A 0 .-r 2 -|-2B 0 ,r^-j- C 0< / 2 = M, les nombres m et n étant premiers entre 
eux : admettons, en effet, que l’équation précitée offre un Déterminant (B 0 ) 2 —A 0 C 0 
non égal à zéro ; on a calculé une solution z 1 s 1 de l’équation auxiliaire 
Z 2 — D = M.S*, le résultat de cette dernière opération présentera alors une 
des circonstances suivantes; ou bien cette solution sera liée, appartiendra à un 
systeme-solution de l’équation primitive donnée, et alors on pourra établir 
une série plus ou moins étendue de trinômes contigus successifs, analogues à 
ceux qui formaient la série n° 59, le symbole du premier trinôme étant (A 0 B 0 C 0 ), 
et celui du dernier étant chacun des trinômes de cette série étant 
d’ailleurs contigu par sa dernièr e partie à celui qui le suit ; ou bien cette solu 
tion z t s 1 de l’équation auxiliaire Z 2 — D = M. S ne sera pas liée, n’ appartiendra 
pas à un système-solution de l’équation primitive proposée, et alors on devra 
la négliger, on ne pourra pas constituer la série contiguë indiquée; supposons 
que la première circonstance se présente, un calcul que nous donnerons plus 
loin, fera connaître la série (A 0 B 0 C 0 ) (C 0 B, A,) (A s B 2 C 2 ) (C 2 B 3 A 3 )... s,) (s t z t M), 
le problème résolu n° 59 donne alors un système final x 0 = a 0 x -{- (ü 0 jr, 
— qui transforme le symbole (A 0 B 0 C 0 ), c’est-à-dire le polynôme 
A 0 (x 0 ) 2 -)-2B 0 ^ 0i / 0 -{-C 0 (j 0 ) 2 en le symbole (s t z i M), c’est-à-dire en s i x’*-\-2z 1 x < /-\-Mj 2 ; 
de là les égalités 
A 0 (« 0 ) 2 + 2B 0 a oTo + C 0 ( To ) 2 = ^, A 0 (pj + 2B 0 PA + C 0 (V=M ; 
ainsi les nombres (3 0 premiers entre eux constituent un système ¿r 0 =[3 0 , 
K, applicable à l’équation primitive proposée; les nombres a 0 *y 0 P re- 
miers entre eux constituent un système x 0 =a. 0 , p 0 —^ 0 , applicable à l’équation 
A 0 Ç z 'of + 2B 0< zr 0 jr 0 C 0 {j 0 f —A , que nous appellerons équation conjuguée **. 
* L’ensemble des principes qui font connaître cette solution, constitue la première partie. 
** Les deux équations A 0 (A 0 ) 2 -)- 2B 0 .r 0 j 0 -)- C 0 (jr 0 ) 2 = M et Z 2 — D=M.S, ont une relation 
tellement caractérisée , qu’une solution z x applicable à la seconde, fait connaître, en généx-al, 
une solution de la première ; or, il est manifeste que lorsque cette déduction est possible, la 
position symétrique parfaite des nombres et M doit amener deux valeurs, l’une convenable à 
l’équation primitive proposée ; l’autre convenable à l’équation conjuguée; précisons cette cir 
constance. 
Les derniers trinômes de la série contiguë peuvent présenter deux états distincts ; admettons,