DEUXIÈME PARTIE. 
143 
donc dans le cas actuel chacun des nombres b g et b x doit être égal ou inférieur à 
et la différence algébrique de ces nombres doit être un multiple de a 0 , il est 
donc certain 1° que si ces nombres ont le même signe, chacun d’eux est égal à 
^, et les deux trinômes réduits donnés sont alors identiques; 2° que si ces nom 
bres ont des signes contraires, la valeur absolue de chacun d’eux est encore et 
les deux trinômes réduits sont alors opposés, n° 57, avec la condition 2b 0 —a 0X 
remarquons d’ailléurs que ce dernier état est réellement l’état identique des deux 
trinômes réduits donnés , puisque l’égalité b 0 =b x — C ^ indique que si l’on change 
d’une unité le quotient de la division qui donne b g , le signe de ce dernier nombre 
qui était d’abord contraire deviendra semblable au signe du nombre b x . 
2 e Cas. ^=±1. [.’équation [9] donne « 0 (a 0 ) 2 -|- 6> o—«,=±2¿ 0 a 0 , or le 
nombre c 0 est égal ou supérieur au nombre a 0l donc au nombre a x ; par suite on 
a 2/> 0 a 0 = >« 0 (a 0 ) 2 , et puisque le nombre 2b 0 est égal ou inférieur àa 0 , on a cer 
tainement a 0 —>(a 0 ) 2 ; par conséquent légalité première y 0 =;±:1 amène 
l’une des deux circonstances a 0 ==0, oc 0 —zh\ : 1° Sia 0 = 0 l’équation [9] 
donne a x — c 0 , et puisque les limites du nombre a 0 sont c 0 et a x , on a évidem 
ment a 0 =£7 1 =c 0 , or l’équation [11] donne (3 0 y 0 =—1, donc l’équation [10] donne 
= on pourra donc, comme dans le cas précédent, admettre 
Tune des deux égalités b 0 =b 1 ou b 0 ——b x , la première de ces égalités donne 
l’identité , et la seconde donne l’état opposé avec la condition 2b 0 =a 0 des deux 
trinômes réduits donnés ; 2° Sia 0 =d=1,l’équation [9] donne « 0 -}-c 0 —a~— e >J>^ 
or chacun des nombres a 0 c 0 est égal ou supérieur à a x , donc le nombre 2b 0 doit 
être égal ou supérieur soit à a 0 , soit à c 0 , donc on a nécessairement 2b 0 =a 0 =c 0 , 
mais alors l’équation précédente tf 0 -[-c 0 — a x = zç.2b g donne dz2b 0 =a it et par 
suite l’équation [10] devient ¿* 0 ( a oPo + T A) + K u oK + iV/o)= K ? laquelle, en 
employant l’égalité a 0 & 0 — (3 0 y 0 = 1 devient 
r7 o( a oPo + To^o) + + 2iVYo) = K ou K — A) = «o( a oPo + T(A)+ 2^oPoTo 1 
ou enfin, puisque 2b 0 =a 0) on a b,— b 0 = a 0 {ci^ 0 -}-^ 0 ±:^ 0 ) : le nombre 
b x — b 0 doit donc être un multiple de a gf on doit avoir comme précédemment, 
soit l’égalité b 1 = b 0 , soit l’égalité b x — —¿» 0 ; la première supposition amène 
l’identité et la seconde amène l’état opposé avec la condition 2b g = a 0 des deux 
trinômes réduits donnés.