144 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
Concluons de ce qui précède que deux trinômes réduits (a 0 b 0 c 0 ) et (a 1 b y c t ) 
sont équivalents lorsqu’ils offrent une des trois conditions suivantes : 1° état 
identique; 2° état opposé avec la condition 2ê 0 =<2 0 ; 3 0 l’état opposé avec la 
condition d’égalité entre tous les termes extrêmes. 
64. Problème. Étant donnés deux trinômes F 0 = (A 0 B 0 A t ) et ^=(« 0 é 0 a t ) 
de même Déterminant négatif, chercher si ces deux trinômes sont équivalents. 
On déterminera les deux trinômes réduits F, et f correspondants, et l’état 
relatif de ces deux trinômes réduits sera celui des deux trinômes donnés. 
Les trinômes dont le Déterminant est — D, c’est-à-dire les solutions entières 
de l’équation z 2 -|~D —M .S, sont en nombre illimité, mais les trinômes réduits 
dont le Déterminant est le même, sont en nombre fini et ont des propriétés 
tellement caractérisées que leur recherche ne présente aucune difficulté ; ils 
peuvent être obtenus par diverses méthodes qui s’offriront d’elles-mêmes à 
l’esprit du lecteur; nous remarquerons seulement que si, parmi tous ces 
trinômes réduits de même Déterminant négatif, on supprime un des deux qui, 
sans être identiques, sont équivalents , ceux qui resteront auront une propriété 
remarquable. Un trinôme quelconque sera équivalent à un d’entre eux et à un 
seul, autrement il y aurait encore dans la série formée des trinômes équiva 
lents; ainsi tous les trinômes de même Déterminant négatif, peuvent être dis 
tribués en autant de classes qu’il sera resté de trinômes réduits. 
66. Problème. Étant donnés deux trinômes F 0 = (A 0 B 0 A t ) et f = (a- 0 h 0 a i ) 
de même Déterminant négatif et équivalents, trouver une transformation de 
l’un en l’autre : on déterminera pour chacun des trinômes donnés la série de 
trinômes contigus qui amène le trinôme réduit correspondant ; on aura ainsi 
les deux séries 
(Â 0 B 0 AJ (A, B, A,)(A a B 2 A 3 )(A 3 A^XA^ B m _, Â m )(A m B m A m+1 ) 
et Ça 0 b 0 a^j Ça y h l a^j (a., ^n—i) (j%n—i ^n—i &n) ^n+i J 
les deux trinômes réduits (Â m B m A m+1 ) et (a n b n a n+l ) offriront l’un des trois états 
suivants; ils seront, n° 65, soit identiques, soit opposés avec les conditions 
2B m = A m , 2b„ = a n , soit opposés avec l’égalité entre tous les termes extrêmes. 
m 
1 er Cas. Les deux trinômes réduits sont identiques, on a les égalités A m —a M 
B m —b n , A m+1 = fl n+1 ; en outre les trinômes qui terminent chaque série donnent