1S2 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
de trinômes est également pair : soit en effet un trinôme réduit (a 0 b 0 —a'j, si 
le trinôme réduit contigu sui- 
■ i i / Ud “f - i/d —|— b() 
Je nombre a x est place entre -—et 
n —J— 1 
vantsera(—a x na y —b ü —« 2 ), ou si l’on pose na { —b 3 =b x sera(—a x b x a 2 ); si dans 
ce dernier trinôme , le nombre a. est entre et - D -—, le trinôme con- 
tigu suivant sera (—a 2 pa 2 —b x ¿/ 3 ), ou si l’on pose pa % — b x =zb. 2 , sera 
(« 8 —d 3 ), etc. Or, le nombre total des trinômes réduits de même Détermi 
nant ~[-D est limité; ainsi, après un certain nombre d’opérations, le premier 
trinôme réduit employé reparaîtra et quels que soient les signes primitifs que 
présentent les termes extrêmes de ce premier trinôme, il est manifeste que 
cette répétition aura lieu après un nombre pair d’opérations. Ce théorème 
donne une méthode très-simple : 1° pour constituer la période d’un trinôme 
réduit donné ; 2° pour distribuer en périodes tous les trinômes réduits dont le 
Déterminant est-j-D; pour cette seconde recherche, on obtiendra un premier 
trinôme réduit, on calculera comme il est dit la période inhérente à ce trinôme, 
si cette période représente tous les trinômes réduits *, c’est-à-dire toutes les 
solutions, dans les limites indiquées, de l’équation Z 2 —D = M.S, l’opération 
sera terminée; s’il n’en est pas ainsi, on calculera un trinôme réduit étranger 
aux trinômes réduits connus et on renouvellera l’opération sur ce dernier 
trinôme; ainsi de suite. 
75. Théorème. Etant donnée une série de trinômes réduits contigus, c’est- 
à-dire étant donnée la série 
Oo K ^0 ( ^1 ^2) ^3) (^2m ^‘2m j ( ^2m+l 
en admettant, pour fixer les idées que le nombre a 0 soit positif : on a 
démontré, n° 59, que si, dans ces conditions, on pose les égalités sui- 
* Si on désigne par (a 0 b 0 —a,) le symbole numérique de tous les trinômes réduits, dont le 
Déterminant est -(- D, plusieurs procédés peuvent donner les diverses valeurs que prennent les 
lettres a 0 , b 0 , a it c’est-à-dire peuvent vérifier l’ensemble des opérations consignées dans le 
numéro précédent ; parmi ces procédés nous citerons le suivant : on choisira pour b 0 tous les 
nombres positifs inférieurs à y/D, et pour chaque valeur de b 0 on décomposera le nombre (¿> 0 ) 2 — D 
de toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient compris entre y/D — b 0 et y/D-f-ô 0 , 
abstraction faite du signe, un de ces facteurs sera a 0 , il est évident que chaque décomposition 
donnera deux trinômes réduits.