DEUXIÈME PARTIE. 
duit donné ; mais ce procédé est moins simple que celui qui est indiqué n° 72 *. 
76. Lemme. Si le trinôme réduit (a 0 h ü —a t ), dont le Déterminant positif 
non carré est + D, devient le trinôme réduit (Â 0 B 0 —A t ), par le système 
*.=wf te. jTo —l 0 la quantité———— est comprise entre 
a 0 
- et p, pourvu que l’on n’ait ni y 0 =0, ni £ 0 = O, c’est-à-dire pourvu que les 
ïo 
limites soient finies; en prenant le signe supérieur du radical, lorsque les limites 
précitées, d’une part, et le nombre de l’autre, ont le même signe; et le signe 
inférieur du radical, lorsque les limites, d’une part, et le nombrea 0 , de l’autre, ont 
des signes contraires ; 2° la quantité ~ b ° 
est comprise entre 
Y. et 8. 
pourvu 
a \ ' “o Po 
que l’on n’ait ni a 0 =O, ni (â 0 =0, et en prenant le signe du radical comme il est 
dit précédemment. Remarquons d’abord que l’énoncé général de ce lemme ad 
met implicitement que les limites ont le même signe : or, effectivement, cette 
circonstance a toujours lieu; la transformation de (« 0 —¿q) en (A 0 B 0 —A,), 
par le système a^-f j 0 = 7^+ KTi exi g e q ue les nombres a 0 To S 0 
obéissent à la condition a 0 £ 0 — (3^ = 1 ; donc les limites présentent des fractions 
irréductibles; en outre, de cette même condition a 0 £ 0 —(3 0 y 0 =1 on déduit que 
les nombres fractionnaires 
Po To °o 
-, - ont le même signe**. L’hypothèse 
V V «0’ p 0 0 
admise dans l’énoncé donne les six égalités suivantes, dont les quatre dernières 
sont des déductions des deux premières : 
[1 ] tf 0 ( a o.) H^V-oTo «i(ïo) 2 A 0 
[3] 
PI 
-k 
\/ D + 
^o A o 
(ïo) 2 
To 
To 
+*.±V D 
*iAq 
(«o) 2 
PI 
W 
[6] 
^o(Po) 2 a i{K f A) 
«0 A 1 
w* 
+^ 0 = i = y // ^ + 
aiAj 
(W 
«1 
* Les trinômes réduits dont le Déterminant est -(-D sont distribués en périodes dont le nombre 
de trinômes est pair, n° 72 ; par conséquent chacun des deux groupes , I°//i, //j h 3 .... /¿„_i, 
2° h 0 —h u _ x , h_i = h n —g.... A_ (n _ 3) = h 3 , /¿_ ( „_ 2) = h- 2 , //_(*_,) = K, Hé à la même période, offre 
un nombre pair de termes et reparaît dans le meme ordre indéfiniment; si donc chacune des 
expressions ^ —Vp.,HP 0 est, dans les conditions stipulées, réduite en fractions dites 
a ° ai 
continues, chacune de ces dernières fractions présente des dénominateurs ou, comme on les 
nomme, des quotients incomplets en nombre pair, lesquels reparaissent ensuite dans le même ordre ; 
on retrouve ainsi le théorème bien connu sur la réduction d’un radical carré en fractions continues. 
** Voy. note du n° 77. 
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