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ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
— = E, donc notre conclusion est encore celle qui est indiquée dans les 
cas précédents. 
Si les trinômes F 0 et f sont improprement équivalents, le trinôme f 0 sera 
proprement équivalent au trinôme <p 0 dont l’opposé est, n° 87, F 0 ; or, le pro 
blème précédent donne une transformation de f 0 en <p 0 , et si cette transforma 
tion a lieu par le système x 0 = o^-j- [3/,, jk 0 =- ^, on reconnaît facilement 
que le trinôme f 0 devient F 0 par le système x 0 = olx\— [3/,, 
80. Les trinômes dont le Déterminant est un nombre positif non carré , ont 
des analogies avec ceux dont le Déterminant est négatif, mais ils présentent 
des difficultés plus sérieuses, néanmoins on a pu remarquer que ces difficultés 
sont essentiellement pratiques, le but théorique est le même ; un trinôme de cette 
nature étant donné, on doit rechercher un second trinôme équivalent au premier 
et tel que l’on puisse, en tenant compte des deux trinômes réduits inhérents aux 
deux trinômes connus, constituer une série de trinômes contigus, série dont 
les deux trinômes primitifs seront les extrêmes; ainsi la règle finale indiquée, 
n° 67, sera encore notre guide dans l’étude actuelle. Etant donnée à 
résoudre, en nombre entiers, une équation A 0 (.r 0 ) 2 -)-2B 0 .r 0 jr fl -|- KO r of == M, 
dont le Déterminant positif non carré est D = (B 0 ) 2 —on cherchera une 
solution z 1 s i de l’équation auxiliaire Z 2 —D = M.S, le nombre z 1 étant non 
supérieur à ^ ; cette solution et les coefficients A 0 B 0 A, du premier membre de 
l’équation proposée, constitueront deux trinômes (A 0 B 0 A,) et (M z x s x ) ; on 
déterminera , n° 70, les deux trinômes réduits inhérents, et n° 72 , la période 
de l’un de ces derniers; s’il y a, entre les deux trinômes réduits, l’un des 
états relatifs suivant ; 1° identité, soit ordre direct, soit ordre inverse; 
2° simple présence, soit ordre direct, soit ordre inverse de l’un des trinômes 
dans la période de l’autre, on sera assuré que la solution z 1 de l’équation 
Z~ — -D = M . S est liée, appartient à une solution de l’équation proposée , on 
pourra alors former la série de trinômes contigus successifs 
(A 0 B 0 A,) (A, B, A 2 ) s,) (.s\ ± z x M) ; 
de là , par conséquent, on déduira une transformation de 
F 0 = (A 0 B 0 A,) en f= (a 0 b 0 <)=(s t ± z t M) 
et si, les lettres x 0 x, y x étant les indéterminées des deux trinômes, cette