DEUXIÈME PARTIE. 
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constatons aussi 1° que les produits de chacune des égalités [1] et [2] par le 
nombre 4 prouvent, si on les rapproche de [3], l’étal entier des nombres 
2T 2t . . 
2° que les produits de l’égalité [3] par chacun des nombres (U,) 2 , 
peuvent être écrits 
[5J (B.U 1 +T,)(B 0 Ü,-T,) = A.A 1 (U 1 ) 1 —m'; 
[6] — i.) = A,A,— nf-, 
les premiers membres sont des multiples de trd ; or, dans l’état actuel des faits, 
chaque facteur de ces membres est un multiple de m; en effet, 1° l’état non- 
multiple de m, admis , par exemple, pour chacun des deux facteurs du premier 
membre de [5], donne, après division par m, deux restes /■„, lesquels, 
par suite des conditions — , — nombres entiers, sont nuis, car ces restes 
1 m m 7 7 
doivent vérifier les égalités r 0 -j-/*, = (), t\— /,= 0; 2° l’état multiple de m 
attribué à l’un des facteurs du premier membre de [5] ne peut, le nombre 2Ï 
étant multiple de m, être nié pour l’autre; concluons : l’état multiple de m 
appartient à chacun des quatre facteurs précités, appartient donc au nombre 
Ui(A4“ B 0 a)—«„№ + !,), ou, après réductions, appartient au nombre 
ÜA — «„T, ; donc , paragraphe a) , le nombre u est entier , et par suite de l’éga 
lité 6 2 — Du 2 =m 2 le nombre 6 est entier. 
c) L’égalité u = 0 est inadmissible; de cette égalité admise, on déduit 
La—wJn OU (U 1 ) , (0* = W l (T 1 )*, ou (U t 7[D(« n ) 2 + nf\ — (w n ) 2 [D(ü 1 ) 2 -f- nf] , 
ou circonstance que l’hypothèse première 13, > a rend impossible, 
ainsi le nombre u n est pas inférieur à U , à ce nombre qui dans toute cette 
théorie, a désigné la plus faible valeur entière, après zéro, applicable à la 
lettre générale u. 
d) Des valeurs de t n f n+1 , u n u n+l on déduit facilement les égalités 
A+l4»-(-lA' A^W 1 tn U n-dn+l > RWn+lA —L 21 (2,A—1 f^A A—1l) ? 
et 1’abaissement successif des indices amène, quel que soit le nombre entier n, 
les égalités finales 
Ai+i^n ^n-J-i A — u do * h U Q— W-U , t n _|_A L>A+iA tu 1, 
delà résulte que l’égalité u = U qui amène l’égalité Ô=ï est inadmissible, car 
cet état donne, paragraphe«), les égalités « n+1 = U, £ n + 1 = T 1 , lesquelles