202 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ. 
est le plus grand commun diviseur des nombres A 0 , 2B 0 , A,; les trois nom- 
bres — , —, —— sont entiers; or ce dernier nombre prouve le prm- 
¿T o 
cipe énoncé; si, effectivement, le plus grand commun diviseur des nombres 2n 
et g était un nombre & inférieur à g, posant 2n=hi' g = <$. </, et substituant 
dans le résultat serait un nombre entier; or les nombres g' et n' 
sont premiers entre eux, ainsi le nombre D renfermerait le facteur carré (g 7 ) 3 , 
et par suite le nombre jf ne serait pas le facteur carré maximum contenu dans 
le Déterminant D. 
2 e Cas. D, = 44-j-2 ou D 1 = 44-j-3. Tout nombre g diviseur de n sera 
une valeur convenable pour m, et réciproquement toute valeur convenable 
pour m sera un diviseur de /z, 1° si le nombre g divise n, la résolution en nom 
bres entiers de l’équation —Dw = nf est possible; en effet le nombre D est 
( /z 2 D \ 
g 0 —J , le nombre g est le plus grand com- 
mun diviseur des nombres g, 0 —— 1 ; 2° si le nombre g représente m, si le tri- 
§' 
nome (Â 0 B 0 A,) a le Déterminant D; enfin si le nombre g est le plus grand 
commun diviseur des nombres A 0 , 2B 0 , A,, le nombre g sera diviseur de n ; 
un raisonnement parfaitement semblable à celui qui a été fait précédemment, 
2 n _ 
prouve que le nombre — est alors entier, or ce nombre entier ne peut etre 
§ 
impair; soit en effet — =2/>-{-1, de là on déduit ^- = 4Q-J-1, ou puisque 
S b 
Tune des deux égalités D 1 = 44-j-2, D 1 = 44-j-3 est exacte, on aurait alors 
soit — 4c -{- 2, soit = 4a-J-3, c’est-à-dire soit = 4-V-|-2, soit 
p b b 
^ = 4.5'-)- 3, conditions inadmissibles; ainsi le nombre entier — est pair, 
donc le nombre g est diviseur de n. 
Des deux démonstrations précédentes on peut déduire deux faits remarqua 
bles, 1° l’unité est dans tous les cas une valeur convenable pour m ; en d’au 
tres termes, la résolution en nombres entiers de l’équation f — Dw 2 —1 est 
toujours possible; 2° le nombre 2 ne sera valeur convenable pour m que lorsque 
le nombre D présentera l’une des formes 4k ou 4/r —j— 1. 
98. Théorème. Etant donnée à résoudre, en nombres entiers, l’équation 
û — Dlâ—trf, si le nombre m est convenable, c’est-à-dire place l’équation dans