DEUXIÈME PARTIE. 203 
les deux conditions indiquées n° 95, la résolution de cette équation peut être 
ramenée à celle d’une équation semblable dans laquelle on a m— \ ou m — 2. 
Reprenons 1 égalité D = /z 2 D 1 ; deux cas peuvent se présenter. 
1 Lr Cas. Si le nombre m divise n, alors le nombre divise D, et si l’on 
pose i équation Ô —— 2 u = 1, les solutions applicables à cette dernière équation 
étant ensuite multipliées par m 1 seront les solutions de l’équation proposée. 
2 e Cas. Si le nombre m ne divise pas n, au moins divise-t-il 2n, puisque 
1 équation proposée est résoluble en nombres entiers, d’ailleurs l’égalité 
/2B 0 y / A 0 Aj\ D, i i ni • i 
[—) — -j = -^-, c * ans l ac I ue ll e I e premier membre est entier, prouve 
que m divise 2n, le nombre m est donc pair et le nombre ^ est entier, si l’on 
pose l’équation 6 2 —'^-u 2 —2; les solutions de cette dernière équation don 
nent, si on les multiplie par les solutions de l’équation primitive proposée. 
99. Théorème. Si, comme nous l’avons fait précédemment, on désigne 
t 0 t x t^— t n , etc., u 0 u x u, 2 — u n l’ensemble des solutions entières et positives 
de l’équation possible f — D« 2 = m 2 , et si la lettre h désigne un nombre entier 
quelconque, il existe toujours un indice p. qui rend exactes toutes les égalités 
suivantes : 
[A] t[i — t 0 =p 0 k, y +1 — t x =p x h, t vM — t,=pji.... t^ k — t k =pji. 
[B] u—u 0 =q 0 h, u^ M —u x —q x h, u^—u^qji.... u^ k —u k =qji, etc., 
la suite illimitée /j 0 p x p^....p k , etc., q 0 q x q % .... q k , etc., ne présentant que des 
nombres entiers. Remarquons d’abord qu’il suffit de démontrer l’exactitude 
des deux premières égalités qui entrent dans chacune des suites [A] et [B]; cette 
exactitude amène en effet pour chaque série celle de toutes les égalités qui 
suivent les deux premières; reprenons l’échelle de relation des deux séries 
récurrentes t 0 t x t % t n , etc., u x u 2 — w n , etc., on a les égalités 
Vh~ ~(Vh) ^ = ~ (¿ij ¿o 5 ou Ç-H 4 = ~(^+i O ¡0 5 
ainsi l’admission des deux premières égalités de la suite [A] amène l’admission * 
de la troisième, et généralement amène celle de t^ +k — t k =p k h; la même