PREMIÈRE PARTIE. 
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Si dans le second membre de cette dernière égalité et aux quantités R, P 2K+1 , reste, 
on substitue les valeurs indiquées; si on extrait la racine carrée du résultat, 
on a 
(P.w)P2>+i=lCN+I)[(2N*f-2)K-f-2N+I]« 2 +|2(N-fl)[7(N-l-2)+2]K-|-r / (2N i! +3N+I)-|-4N4-3j« 
-f 2[/fN+I) 2 +ry(N+l)H-'l]K4-/-(2N 2 +3N+l)-|~y(2N-j-I)-|-2 |*, 
+'/|(N+l}[(2N+2)K+2N-f-l]/2 2 +|2(N+l)[r/(N+2)-b2]K+y(2N 2 +3N+l)+4N+3j// 
4-2[r(N+l ) 2 -H7(N-f 1 )-f l]K+/<2N 2 +3N+I)-by(2N-l-I )-f-2j +/•. 
La proposition réciproque est donc exacte , et dans les conditions précitées, le 
système-solution de l’équation est x — X, P 2B+1 ), en désignant par X la 
racine carrée du premier terme, carré exact, qui appartient au second membre 
de l égalité précédente. 
25. Deuxième proposition réciproque. Soit l’équation proposée 
x 2, —j— qx —j— r = P. jr, q nombre impair, 
nous admettons que la racine carrée du produit P. m étant désignée par R, le 
reste donné dans cette extraction vérifie la couple [2] d’égalités du n° 21, on 
a P. m = R 2 -|- A.Q 2 racine = R =fQï), la fonction de n correspondante au 
nombre reste = A.Q 2 , présente une tète de colonne, et celle-ci est, disons-nous, 
une solution de z applicable à l’équation x i -\-qx-\-r = {y. m)z. En effet, sup 
posons, par exemple, 1° que la tète de colonne soit 
»Vu = (N + 1 )V + [ ? (N + 1 f+2(N +1 )]n + ;.(N +1 )’+ ? (N+1 ) +1 ; 
2° que le nombre reste soit caractérisé par les égalités N == nombre pair, JN , = 
nombre pair, hypothèses qui donnent au nombre reste et af(ri) les valeurs 
Reste —A[ N+1)R + |+1]«, 
Rac. = R=[2(N+2)R+N+2]«+( ? N + ? + 2)K+f + ? + !;. 
or, l’hypothèse inhérente au cas actuel, est P. m = R 2 -j- reste, 
ou ( p - m )K+i = R2 ( p ^+i) + »’este (P №+1 ) ; 
si dans le second membre de cette égalité et aux quantités R, P 2N+1 , reste, on