S4 ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ, 
donnera, en employant les formules générales n° 27, tous les systèmes x, jr; 
on devra ensuite établir le passage régulier de y à z; or, 1° si l’équation 
.r 2 -j-= B.z est possible, il existe au moins une valeur de 2 qui est infé 
rieure à B —J— q —j— \ n° 28*; 2° les valeurs de z sont les quotients exacts entiers 
de l’expression par conséquent cette circonstance d’un quotient exact entier 
se présente au moins une fois lorsque l’on substitue à y toutes les valeurs en 
tières relatives à cette lettre et comprises entre les nombres \ et T(B—|—^—|— ] ). 
50. Observation générale. Si l’équation proposée x*-\-qx-\-r=V.y est 
possible, le nombre q impair et le nombre P premier absolu ; les principes 
démontrés dans les deux chapitres précédents établissent, 1° que tous les sys 
tèmes-solutions sont déduits d’un premier système x x , y i ; 2° que le nombre P 
occupe en général une place dans les tables préparées, place caractérisée par 
une extraction , quelquefois par deux extractions de racines carrées, place enfin 
qui donne immédiatement une solution de l’équation proposée; le problème 
théorique est donc résolu, mais la question pratique est pleine, entière, et dans 
les conditions établies par les faits qui précèdent ; cette question peut être énoncée 
dans les termes suivants ; Etant donnée à résoudre en nombres entiers l’équa 
tion x~ qx r-=V. y, le nombre q étant impair, est-il possible de caracté 
riser la place que tient dans les tables le multiple P.m, le nombre m étant 
inférieur à V-\-q-\-\, ou plus nettement parmi les couples [1], [2], [3], [4] 
d’égalités du n° 21, est-il possible d’indiquer celle qui donne à m la plus petite 
valeur : l’indication d’une valeur minimum de m donnerait évidemment le ca 
ractère pratique qui manque encore à cette partie de l’analyse, nous devrions 
donc l’exposer actuellement d’une manière complète, mais nous avons cru que, 
présentée en ce moment, cette recherche n’aurait pas toute la clarté nécessaire, 
elle devrait d’ailleurs être reproduite plus loin avec quelques modifications; 
dans l’examen de l’équation oâ-\-qx-\-r = P.y, le nombre q étant pair; re 
marquons aussi que la recherche de la limite actuelle n’est pas indispensable, 
* Nous admettons que l’équation x 2 -|- qx -f-r = B.z vérifie les conditions premières indiquées 
n° 28; est-il nécessaire de remarquer que dans le cas contraire, un changement désigné dans les 
lettres x, z, et la diminution de quelques unités dans cette dernière, amènerait l’effet exigé. 
L’exposé de la résolution directe de l’équation .r 2 -|- qx -}- r— R.z, lorsque le nombre B n’est 
pas premier, eût donné plus de régularité à cet ensemble théorique, mais rappelons que notre 
étude spéciale est la résolution pratique des équations du second degré à deux inconnues.