PREMIÈRE PARTIE. 
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L’extension donnée à ce tableau est une preuve et de la régularité des résul 
tats obtenus et de la facilité que présentent les substitutions indiquées ; cette 
extension est d’ailleurs peu utile, nous prouverons que les trois premières 
lignes horizontales, lignes caractérisées par les titres à gauche r.1 2 , r.2 2 , r.3 2 , 
sont seules indispensables, néanmoins conservons encore cet état général, et 
rappelons seulement que si l’équation x*-\-r = P.y est possible, il existe tou 
jours un système-solution x lt y v qui vérifie les conditions 
. P .P , 
*i<5» Si<ï + r - 
Etant donnée à résoudre en nombres entiers l’équation possible x '+r=P J, 
admettons, ce qui est permis, que le nombre r soit entier, positif et infé 
rieur à P : le nombre P occupe en général une place dans les tables précé 
dentes ; cette place, si elle existe, est indiquée par une extraction de racine 
carrée de ce nombre, extraction donnant pour reste un nombre représenté 
par r.Q 2 , on doit donc retrancher toujours du nombre primitif P, et succes 
sivement, les nombres r. V, r.T, r. 3 2 , r. 4 2 , etc. j et le résultat de l’une de 
ces soustractions sera un carré exact entier; on reconnaît a priori que ces 
essais sont peu nombreux, ils sont manifestement limités, 1° par la nature du 
nombre P; 2° par la nature du chiffre des unités inhérent à tout carré exact 
entier. Laissant de côté toute étude, et sur la limitation de ces essais et sur les 
moyens que l’on doit employer pour rendre plus rapides les essais reconnus 
indispensables, étude qui termine cette partie ; supposons que l’on ait constaté 
l’exactitude de l égalité P — r(N +1 ) 2 = R 2 , on recherchera, dans le tableau 
précédent et sur la ligne horizontale dont le titre à gauche est r(N -|-1 ) 2 , la ra 
cine fonction de n, qui vérifie Légalité /*(w) = R, le nombre n étant entier, ce 
nombre entier sera substitué à n dans la tète de colonne correspondante, et le 
résultat final sera une valeur de y applicable à l’équation proposée; de cette 
solution de y on déduira les deux valeurs entières de x. 
Les raisonnements mathématiques doivent être indépendants de la grandeur 
des quantités données dans la question, par conséquent les exemples numé 
riques ne peuvent rien ajouter à l’exactitude de ces raisonnements, mais ces 
exemples peuvent donner de la clarté aux explications 
^ + 321 =9565y, 
9565 — (321 )2 2 = 91 %