PREMIÈRE PARTIE. 
67 
2° L’égalité évidente 
-h 0 H - ^)=(^ -f- 2/ï -|-1 ) 2 —(x+^4" 4/lS + 3w +i + 1 ) » 
égalité clans laquelle le second terme du second membre est négatif, prouve 
l’exactitude de l’inégalité R < q -j- 2n -j- \. 
4d. Étant donnée à résoudre en nombres entiers et dans les conditions 
citées, l’équation possible x % + r= P.j, l’ensemble des trois numéros qui pré 
cèdent établit qu’une solution est toujours donnée par l’égalité certaine. 
[B] (4?+1)(~^+n)==(?+ 2n —'£)H-1 s tì(2S—k)+'i^-\-n—(2n—S}*]. 
1° Nous admettons que les nombres entiers 
. — 3,-2, -1, 0, 1, 2, 3 
substitués à n, n’ont pu réaliser l’égalité [B], et par conséquent les limites de 
ce nombre n sont 4 et 3 ) , 2° le nombre entier B est non supérieur à tz ; 
3° le second terme du second membre de l’égalité [B] est égal à r : ces faits 
préliminaires constatés, on peut prouver que si l’on multiplie l’égalité [B] par 
l’un des deux carrés 2 2 , 3 S , l’une de ces multiplications transforme l’égalité [B] 
en une autre, dans laquelle le coefficient nouveau de Uq-\-\ = P sera non 
supérieur à q -j- 3 ; et par suite l’exactitude de ce premier cas du théorème 
énoncé n° 41, sera démontrée. 
Le produit de [B] par 2 2 est 
(4 ? -)_1)(r / _i-)-4«)=(2?+4n—2S)*+2’[y(2S—A')+ 1 =^+«—(2« —«)'], 
ou, après soustraction des multiples de kq-\-\ communs aux deux membres, 
[C] (4ÿ-f-I)[^-—k—(4n—48'—4)]=[4n— (2o—j—)—l)] 2 ——4)-J- (-/z—(2n—S) 8 ]; 
Ainsi l’égalité certaine [B] dans laquelle le coefficient de 4q-\-\ était supérieur 
à —~ - -|- 3 est transformée en une autre égalité [C] à laquelle est applicable la 
4