Erstes Kapitel. 
Rationale nnd irrationale Zahlen. 
§ 1*. Bevor man das Studium der Theorie der Functionen 
beginnt, ist es uöthig, den Begriff der irrationalen Zahl und 
den des Grenzwerthes genau festzustellen. Obgleich diese Be 
griffe zweifelsohne durch Anlehnung an geometrische Vor 
stellungen entstanden sind, so ziehen wir doch vor, sie ohne 
solche Veranschaulichung zu entwickeln, um zu zeigen, dass 
die Arithmetik von der Geometrie ganz unabhängig ist und 
ohne Zuhülfenahme der Erfahrung consequent aus ihren Prä 
missen aufgebaut werden kann. 
Das Material, mit dem sich die Arithmetik in ihren ersten 
Operationen allein beschäftigt, sind die positiven ganzen oder 
„natürlichen“ Zahlen, die eine gesetzmässig geordnete Reihe 
von Zeichen bilden, in der jedes Zeichen ein bestimmtes 
folgendes und mit Ausnahme des ersten ein bestimmtes voraus 
gehendes besitzt und in der beim Fortschreiten nie dasselbe 
Zeichen wiederkehrt 1 ). Man kann dann 2 ), unter a -}- 1 die 
auf a folgende Zahl verstehend, die Addition, Multiplication 
und Potenzirung recurrirend durch die Gleichungen: 
a + (P 1) — { a “h &) “h 1 
a (b -J- 1) — ah a, a • 1 — a 
a ,J+1 = a ,J ■ a 1 , ,a l == a 
definirei! (es ist interessant hienach an der Reihe a, ß, y } d, .., 
der griechischen Zahlzeichen mit a — 1 einige Rechnungen 
1) Schröder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Band 1 
Seite 1 —18. — Kronecker, Journal f. Math., Band CI Seite 837. 
— Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? — Helmholtz, 
Zählen und Messen. 
2) Grassmann, H., Lehrbuch der Arithmetik für höhere Lehr 
anstalten. 
Dini, l’unctionentheorie. 
1