£) 8£, 
(4) 
5 ersten. Was den 
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, so findet man die 
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Seite £ = £+ 7T, im 
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- ra J f(sm 2 £)8£ 
/ •7t 
f {sin 1 £) 8 £ 
0 
die durch (4) ausge- 
) + SKs». k); 
) + & (fl 5 , k); }■ (5) 
) + $*(«>, a, k). 
Hilfesätze. 
Diese Formeln gelten für ein beliebiges cp. Für n = 1 und qp = o er 
hält man aus (5) die dritten Formeln (4). 
IV. Es ist aus (l) unmittelbar klar, dass 
f Cv, o, k) = $ (<p, k), (6) 
so dass das elliptische integral der ersten Art im Grunde nur ein besonderer Fall des 
dritten ist. Da ferner sich leicht zeigen lässt, dass 
8- £ f\ f- — i n t k 2 sin £ cos £" 
h 
(1 — k 2 sin £) yi — k 2 sin z £ 
so ist auch 
f O,k 2 , k) == % (<p, k) 
£‘8 £ — - _ 
(1 — k 2 ) Y 1 — k 2 sin 1 £ 
k z sin cp cos ip 
(1 — k 2 ) Y1 — k 2 ~ 
(6') 
s in * <p 
so dass auch das elliptische Integral der zweiten Art sich durch das der dritten aus- 
drücken Hesse. 
V. Wir haben k 2 unter 1, d. h. zwischen 0 und 1 vorausgesetzt. An den 
Gränzen dieser Werthe, d. h. für 0 und 1, verwandeln sich die elliptischen Integrale 
8 £ 
- a s£w 2 £ 
_ ±L. 
£ cos£ 
in bestimmbare. So ergiebt sich; 
f‘<P 
%' {<P, 0) = q>, % {<p, o) = ip, f (<P, a, o) = / - 
/ V> 8 £ A> A> 1 
- V K'A 1) = / cos £ 8 £, ^ {q>, a, 1)<= / 8 
o cosi ' J o ' J ö 1 a sin 
wenn qp zwischen — \n und —t— |tt. 
Diese Integrale sind nach bekannten Methoden integrirbar. 
Neben diesen allgemeinen Beziehungen wollen wir nun zuerst jedes der drei 
Integrale besonders untersuchen, und dann erst die anfänglich allgemein ausge 
sprochene Behauptung rechtfertigen. Dabei werden wir auch zeigen müssen, wie 
sich die fraglichen Integrale berechnen lassen. Zu diesem Ende haben wir hier 
eine algebraische Hilfsuntersuchung einzuschalten. 
§■ 2. 
Hilfssätze. 
I. Es liege k zwischen 0 und 1 (§. 1) und man bestimme k t aus 
1 - Vi-k 2 
V ki = 
so ist auch k t positiv. Dann ist 
y k =• . 
k (1 + y 1 — k 2 ) 1+yi—k 2 
woraus sofort folgt, dass y k t <k, also noch mehr k t < k. Demnach 
liegt k t zwischen o und k. 
Für k =■ 1 ist auch k t = 1 ; für k = o findet man nach der bekannten 
Regel auch k t = o. 
Setzt man