D ¡enger, elliptische Integrale. 
Das Additions-Theorem für die elliptischen Integrale der ersten Art. 
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Da 
fy Vl — x 2 V l — k 2 x 2 — x VI — y 2 Vl — k 2 y 2 ] X 
[y Yl— x 2 Yl— k 2 x 2 +x Vl — y 2 Yl— k 2 y 2 ] = (y* — x 2 ) (1— k 2 x 2 y 2 ), 
so ist auch 
y Vl — x 2 Vf— k 2 x 2 + xl/l — y 2 Vi — k 2 y 2 
Daraus folgt dann; 
1 - c 2 = ^ 1 ~ x 
1 — k 2 x 2 y 2 
1 — x 2 Vl — y" — x yVl ~ k 2 x 2 Vl — k 2 y 
1 — k 2 x 2 y 
1 _ k 2 c 2 = ^Vl- k 2 x 2 Vl — k 2 y 2 —k 2 xy Vl—x 2 Vl — y 2 
)■ 
)' 
(38) 
(38') 
1 -k 2 x 2 y 2 
Aus der ersten (38') folgt sofort, dass 1 — c 2 immer positiv, also c 2 immer unter 
1 ist, was auch x und y seien (nur x 2 , y 2 nicht grösser als 1); setzt man also 
■x — sincp, j — sinxp, c — sin<a, so ist 1 — c 2 = cos 2 oo, und man kann aus (38') 
folgern (qp und xp zwischen — | n und -1- \ ir): 
, cos cp cos ip — sin q> sin ipV 1 — k 2 sin 2 1 — k 2 sin 2 ip 
COS (O *1 " | *> • 9 • O 9 
1 — k * szn~ q-i sin■ x/j 
wo, da für qp = 0 , ip = 0 oben c = 0, also cos co = 1, das obere Zeichen soll ge 
wählt werden. Unbedingt ist 
V1 — k 1 sin 2 1 
Vl — k 2 sin 2 ip V1 — k 2 sin 2 ip — k 2 sin q> sin ip cos cp cosili 
1 — k 2 sin 2 cp sin 2 ip 
da die zweite Seite dieser Gleichung immer positiv ist. Endlich ist 
sin ip cos cp V 1 — k 2 sin 2 cp + sin cp cos Ip VT — k 2 sin ~ ip 
s m co — i 7 7> • y « v > 
1 — k sin cp sin xp 
welche Gleichung oo durch qp und xp bestimmt, wobei dann 
$ (®> k) = Sf (<P. k) + § 0\>. k). 
Diese wichtige Gleichung ist jedoch noch nicht in Bezug auf alle möglichen 
Werthe von cp und xp untersucht, ist übrigens oben auch nicht in dem Sinne abge 
leitet worden, den wir künftig’ damit verbinden wollen. Wir fassen daher die 
Untersuchung von einem ganz andern Gesichtspunkte aus nochmals auf. 
§• 6* 
Das Additions-Theorem für die elliptischen Integrale der ersten Art. 
I. Wir wollen annehmen qp, xp, co seien drei, sonst ganz beliebige Funk 
tionen einer Grösse t, die mit einander Zusammenhängen durch die 
Gleichungen : 
. sin cp COS l/l V1 — k 2 sin 2 Ip -f- sin Ip COS Cf) Vi — k 2 sin 2 cp 
Sin ca = ; —T—T—5z , 
1 — k sin 6 cp sin 1 ip 
COS CP COS Ip — sin Cp sin Ip VT — k 2 sin 2 cp Vl — k 2 sin 2 ip 
1 — k 2 sin 2 cp sin 2 ip 
(39) 
, r- —r V1 — k 2 sin 2 cp Vl — k 2 sin 2 ip — k 2 sin cp sin ip cos cp cos ip 
V 1 — k 2 siw-<a= — — —; : 
1 — k 2 sin <p sin- ip