Das Additions-Theorem für die elliptischen Integrale der ersten Art. 
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Sind also cp und xp innerhalb dieser Gränzen, so giebt (40) die Summe 
Sr((j),k) 4- §r (xp, k) unzweideutig gleich 3r(«, k), wo co zwischen — n und 4- n 
durch (39) bestimmt ist. 
Liegen <p und ip nicht (beide) innerhalb dieser Gränzen, so gilt (40) 
freilich noch, aber die Bestimmung von oo ist dann nicht klar. Setzen wir 
aber allgemein 
= m it + q>‘»p = n Tr 4- i|/, (41) 
wo cp', xp' zwischen — \u und m und n ganze Zahlen (positiv oder 
negativ) sind, so ist (§. 1, III) 
$ (9>, fc) 4- Sr (ip, k) = (m 4- n) § (it, k) 4~ $ (<p', k) 4- Sr ( X P‘, k), 
und wenn man «'zwischen —n und 4- tt dadurch bestimmt, dass man in 
(39) für cp, ig, « setzt cp\ xp\ co', so ist 
$ (<p. k) 4- $ (rp, k) = (m 4- n) $ (n, k) 4- $ (a>k) , (42) 
oder auch 
(<P, k) 4- %' (ip, k) = $ [(m 4- n) ff 4- <a', k], 
so dass jetzt « = (m 4- n) n 4- «' ist. 
Setzt man wirklich in (39) 
cp — m Tt 4- <f/, ip ~ uit 4~ ip', co — (m 4- ri) tt ~h co / ; 
erinnert sich dass 
sin (r H 4- a) — (— l) r sin a , cos (r rt 4- a) = ( — l) r cos a , 
so geben diese Gleichungen geradezu diejenigen, welche vorhin oo' be 
stimmten. 
Für die Werthe (41) ist also od — (m 4-n)Tr4-o)'; immer aber gelten 
die (39) auch. 
III, Aus den (39) lassen sich leicht noch andere Gleichungen zwischen 
den drei Winkeln finden. So ergiebt sich ganz unmittelbar: 
cos a> = cos ff cos ip — sin <p sin ipY I — k 2 sin* co, \ 
sin ft» cos (f V1 — k 2 sin 2 <p — sin (f cos (u \/l— k 3 sin* ca sinip( 1- k 2 sin' (p sin 2 m), I 
sin Cu COS ip Y 1 — k" sin* tp — Sill >p COS CO Vi — k* sin* co = sin ip (l—k* sin* ip sin* co), > (43) 
cos <p cos co 4- sin ip Y1 — k 2 sin 2 cp sin cu Y i — k 2 sin* co — cos ip (1 —k 2 sin * cp sin 2 co), I 
cosxp cos co 4~ sin ip 'Y1 — k* sin* ip sin co Y 1 k 2 sin * co cos cp (\ —k* sin* ip sin* ca), I 
von welchen Gleichungen die letzten vier den (37) entsprechen, oder aus 
ihnen gefolgert werden könnten. Hieraus 
sm cf, 
sinco cosili]/1 — k 2 sin* >p — sin ip cos co 'Y1— k 2 sin 2 cu 
1 — k 2 sin* ip sin* cd 
Y1 -• k* sin* cp 
cos ip cos co 4- sin ip sin co y 1 — k 2 sin* ipY 1 — k 2 sin 2 co 
cos <p = — <— . 
1 — k s in ~ ip s m co 
Y1 — k*sin*ip Y l — k* sin* ai-hk* simp sinco cos ip cos o> 
1 — k 2 sin * ip sin 2 co 
(44)