Bas Additions-Theorem für die elliptischen Integrale der zweiten Art. 
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es, selbst wenn k' < Y\, vortheilhafter sein, die Formel (61) anzuwenden 
statt (57), da dann z klein, x nahe an 1, und obgleich k dort > yi, die | 
doch rasch genug abnehmen können. Immerhin steht der Anwendung unserer 
Vorschrift kein Hinderniss im Wege. 
V. Wollen wir auch hier die Fehlergränze feststellen, so geschieht dies ganz 
wie in §. 4, IV, V. So ist der Fehler in B (x, k), also der von E (x,k) aus (57), 
gleich 
d. h. da 
V1 —/t 3 ^ Vl — X 2 n+ | 
(l-0k a n+ ,/‘ 2 )i (I-kVi)i’ 
dieser Fehler ist kleiner als 
d. h- jedenfalls kleiner als 
welche Grösse eine sehr genaue Gränze liefert. So wäre selbst für n ~ 89°, wenn 
man die Formel (57) anwenden wollte, n = 4 mehr als ausreichend gross. 
In C (x, k), also in der Formel (61) ist der Fehler 
und da 
~\f n 2 — 1 \ 2 -4— 1 
so ist derselbe kleiner als 
2"~ 1 it sin 2 x n+ i 
K cos 3 
■/: 
Xll-f-l 9. n 1 /ri oònn ~ t» . a 
Xn-f-l (Xn+1 — 1). 
Xn + l 
Da nun hier k <C.Vv* so. giebt dies ebenfalls eine genaue Gränze. 
Bei der überaus raschen Abnahme der k und £ ist natürlich diese Untersuchung 
jeweils überflüssig. Wir werden sie desshalb im Folgenden auch weglassen. 
§• io. 
Das Additions-Theorem für die elliptischen Integrale der zweiten Art. 
I. Seien cp, t/i, (ö die drei Winkel, welche durch die Gleichungen des 
§. 6 Zusammenhängen. Wir setzen, indem wir wieder cp, rp, oo als Funktionen 
von t betrachten: 
g,(<p,k) + g(tp, k) — g(«>,k) = k 3 U, 
und erhalten 
wo (§.6, I): 
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