64 
"ß 
Das Integral / (Ä+Bx + Cx ! + Dx 3 + Ex 4 ) 5 8 x. 
3 1 (a 2 —1) (1 — a 2 k 2 ) k' l sin 2 a cos 2 a 
1—k‘ 2 sin 2 a’ a 2 1 —k' 2 sm 2 « ’ 
woraus sofort folgt, dass obige Grösse Null ist. Doch muss hier «zwischen 0 
und liegen, da wenn « negativ \n durch — zu ersetzen wäre, 
Diess sind die Sätze für die Integrale der zweiten und dritten Klasse (§. 19,1); 
für die der ersten kann ein ähnlicher nicht bestehen , da dort die Amplitude nicht 
bis | n gehen kann. Für die vierte Klasse heisst der Satz; 
III. Die Grösse 
~ 0>k' 3 ¥ 2 «. k') - cor 2 «5(g>, k')] - fi4(«,k)+KK'| («, k) 
sin a cos <x 
oder auch 
-K'L$(«,k)], 
V1 —k 2 sin 2 a 
sin a cos a 
k') 
K' 
Df (99, k' 2 ^ 2 a, k') — cos 2 ct < ^{q>, k')] 
[f(«,k) (L'-K0 + K'8(«,k)]. 
(103) 
(103') 
ändert sich nicht, wenn cp um n n wächst oder abnimmt, wobei « zwischen — 
und n liegen muss. Der Beweis des Satzes ergiebt sich aus (85), wenn man 
dort a = sin vc setzt; (103) und (103') sind identisch, wenn man (83) beachtet. 
Damit haben wir die Theorie der drei elliptischen Integrale weit genug be 
handelt, um dieselben anwenden zu können. 
§• 22. 
/ • 8 x 
■ ■ ■ ■ — • — auf ein elliptisches, 
y A+Bx + C X 2 + D X 3 + E X 4 
Wir haben nun zu zeigen, dass das hier genannte Integral, in dem wir 
E nicht 0 voraussetzen, immer auf ein elliptisches der ersten Art zurück 
geführt werden kann. Dabei denken wir uns dasselbe als ein bestimmtes, 
dessen Gränzen natürlich so zu wählen sind, dass innerhalb der Gränzen 
Ä + Bx + Cx 2 + Dx 3 + Ex 4 
nicht 0 werde. Um namentlich Letzteres zu entscheiden, zerlegen wir das 
eben angeführte Polynom in seine Faktoren, wobei wir nothwendig die drei 
Fälle unterscheiden müssen: da die sämmtlichen (natürlich immer nur reellen) 
Faktoren des ersten Grades sind, oder da nur zwei des ersten Grades, oder 
keiner dieses Grades ist. Die Bestimmung dieser Faktoren hängt bekannt 
lich mit der Auflösung der Gleichung 
A + Bx-|-Cx 2 -l-Dx 3 -)-Ex 4 = 0 
zusammen. 
A + B x H- C x 2 + D x 3 + E x 4 = E (x — a) (x — b) (x — c) (x — d), 
I. Seien also zunächst alle vier Faktoren des ersten Grades, wie eben 
angegeben, und sei a<b<c<d. Dass diese vier Grössen ungleich sein 
müssen, ist selbstverständlich, da sonst zwei Faktoren gleich wären und aus 
ihrem Produkt die Wurzel sich ausziehen liesse. Dann aber gehört die