n — 1 0>" — a v ) (b v — a-k") J (a+bsinjw) n—4 V^l —k 2 si'w i ft 
b 3 cosn'Y 1— k 2 sin 2 fi 
(n— 1) (b 3 —a 3 ) (b* — a 3 k 2 ) (a + b sinfi) n ~ 1 
Bei fortgesetzter Anwendung (bis zu n = 2) kommt man schliess 
lich auf 
8 ft 
(a -f- b sin ft)’]/' 1 — k 3 sin 3 /t 
/ ' 8 ft a + b sin ft ^ 
l — k 2 sin 2 f.i J y1 — k 3 sin 2 ft 
h 
(a + b sin n) 
8 ft, 
y 1 — k 2 sin 2 fi 
von welchen Integralen die drei letzten in II bereits erledigt sind. Das 
erstere ist 
8 ß P a — b sin n 8 ft 
y i — k 3 sin 1 n J a ” — b 2 sin 2 ß yi_ k • ¡in 2 fi 
8 ft , /* sin ,u 8 ft 
f— 
J (a -J- b sin fi) 
A J a 3 — b 2 sin 1 
b f r 
J (a-—b v i 
*/» yi — k 2 sin 2 ß J (a 3 —b 3 sin 3 ft) — k 3 sm 3 fx 
von welchen zwei Integralen das letztere durch cosfi = z auf gewöhnliche 
irrationale zurückgeführt wird,* und nur das erstere zu den elliptischen 
Integralen (dritter Art) gehört. 
Die Formel (107) ist nicht anwendbar, wenn (b 2 —a 2 ) (b 2 —a 2 k 2 ) = 0, 
d. h. wenn b = + a, oder b = +ak. Diess kommt darauf hinaus, in der 
obigen Ableitung A = 0 zu setzen. Setzt man dann n -1- 1 statt n, so wird 
B == —rs- 1 - [(1 + k 3 ) b 3 — 2a 3 k 3 ] a 
und ist entweder 
—(1 — k 2 ) a 3 oder — —^3—^ (1 — k 3 ) a 3 k 3 , 
also nicht Null, da der Fall k 2 = 1 nicht hieher gehört und a = 0 im allge 
meinen Falle nicht ausgeschlossen ist. *Man hat also für 
(b 2 — a 2 ) (b 2 — a 2 k 2 ) = 0; 
* Sind a und b imaginär, so kommt dies Integral auf die Form 
r (A + B i) 8 z 
J [l + (a + /?i)z 3 ] ]/m+nz ! 
zurück, wo A,JB, cc, ß, m, n reell sind (m — 1 — k 3 , n = k 2 ); da aber imaginäre Faktoren 
in dem Nenner von f (s) immer paarweise vorhanden und konjugirt sind, so kommt nothwendig 
noch ein Integral 
r , (A - B i) 8 z 
J [1 + (a— i?i)z 3 ] y^m+nz 3 
vor und die Summe beider ist reell.